《电磁学》思考题和计算题 第四章
１３、 载流矩形线圈边长分别为2a和2b，电流为Ｉ，求轴线上距中心为r0处的磁感强度。 解：利用上题结果，两对边产生的磁感分别叠加，再求总磁感强度
2B1??0Ia??r0?a22b2
2??r2120?a?b2??r2120?aa?1122B2??0Ib??r0?b22
2??r2120?a2?b2??r2120?b?2B?2B1?2B2??0Iab??r20?a2?b2?12??11 ??2222?r0?b??r0?a????B的方向沿矩形线圈的轴线
１４、 载流三角形线圈的边长为2a，电流为Ｉ，求轴线上距中心为r0处的磁感强度。 解：B1??0I(cos?1?cos?2)?4?R?0I4?a/3?r0?22?1(cos?1?cos?2)
2dB ?2?0Ia4?a/3?r0?22??4a212/3?r09?0Ia2?21
2r0
θ1 I 2a θ2
2B?2B1cos??2?a?2?3r02??4a?3r02?12B的方向沿三角形线圈的轴线
１５、 一个载流线圈的磁距定义为m=IS。试证明，对于习题１１－１４中各种形状的线
圈，当到中心的距离r0远大于线圈线度时，轴线上的磁感应强度都具有如下形式：
B??0m
32?r0解：圆形线圈 B??0RI2?R?r0222?3 r0>>R B?2?0?RI2?R?r02?22?3?2?0IS2?r30??0m2?r30
正方形线圈
B?2?0Ia2??r0?a22??r20?2a2?1 r0>>R B?2?0I?2a?2?r0?a2?22??r20?2a2?1?2?0m
32?r0矩形线圈 B???0Iab?r20?a2?b2?12???0I2a2b?0m11 ????2222?33r0?b?2?r02?r0?r0?a?????三角形线圈 B?9?0Ia2?a2?0I2a??3a/3/230??2?3r02??4a2?3r02?122?r??0m2?r30
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《电磁学》思考题和计算题 第四章
１６、 如图所示，两圆线圈共轴，半径分别为Ｒ１和Ｒ２，电流分别为Ｉ１和Ｉ２，电流方向
相同，两圆心相距为2b,联线的中点为Ｏ。求轴线上距Ｏ为x处Ｐ点的磁感应强度。 解：两线圈在P点产生的磁感强度方向一致。
R1 应用叠加原理
I1 B1?x O P R2 I2 ?0RI12R1??b?x?221
2??3B2??0RI22R2??b?x?222
22??322b ?????B?B1?B2?0??I1R122?R2??b?x?2?1??3?2I2R22 P点处B的方向向左
?R22??b?x?2?32１７、 上题中如果电流方向相反，情形如何？ 解： 当电流方向相反时，
?B?B1?B2?0??I1R122?R2??b?x?2?1??3?2I2R22?R22??b?x?2?32????
１８、 电流均匀流过宽为2a的无穷长平面导体薄板，电流强度为Ｉ，通过板的中线并与
板面垂直的平面上有一点Ｐ，Ｐ到板的垂直距离为x。设板的厚度可略去不计，求Ｐ点的磁感应强度。
解：在Z轴两侧对称地取宽为dy的两直长导线，
利用无限长载流直导线的磁场公式可得
dB??dB??z y ?0idy2?x?y22O
P x 由对称性可知，x方向分量互相抵消，总场沿y方向
aaB??0dBcos?????0idy2?x?y22xx2
2y dB dB+ dB- 0?yO ??0i?arctgax??0I2a?arctgaxx
１９、 求上题当a→∞,但维持i=I/2a，（单位宽度上的电流强度，叫做面电流密度）为一常
数时Ｐ点的磁感应强度。 解：B??0i?arctgax??0I2a?arctgax
ax B?lim?0i?a??arctg??0i??2??0i2
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《电磁学》思考题和计算题 第四章
２０、 如图所示，两无穷大平行平面上都有均匀分布的面电流，面电流密度分别为i1和i2，
两电流平行，求：
（１） 两面之间的磁感应强度； （２） 两面之外的磁感应强度； （３） i1＝i2＝i时，结果如何？
i1 i2 解：利用上题结果，一块电流均匀分布，面电流密度为i的无限大平面，在空间产生的磁感
强度的大小为
?0i2?，其方向与电流方向垂直且成右手螺旋关系。若以n为面法线方向，
?0?2?i?n ???可以表示为 B??0?i1?n1?22??????? （２）两平面之外 B?B1?B2?0i1?n1?022 （１）两平面之间 B?B1?B2??0????0??? ?i1?i2??ni2?n2?12???0??? ?i1?i2??ni2?n2?12 （３）i1＝i2＝i时， B内＝０ Ｂ外＝μ０i ２１、 上题中若i1和i2反平行，情形如何？ 解：i1和i2反平行时，
?0???0?i1?n1?i2?n2?222?????????? （２）两平面之外 B?B1?B2?0i1?n1?0i2?n2?0222 （１）两平面之间 B?B1?B2?????0??i?1???i2??n1 ???i2??n1
?i?1 （３）i1＝i2＝i时， B内＝μ０i Ｂ外＝０ ２２、 习题２０中若i1和i2方向垂直，情形如何？ 解：i1和i2方向垂直时
（１）两平面之间 B?B1?B2 B? （２）两平面之外 B?B1?B2 B???????121222?0i1?i2
22?0i1?i2
i1 i2 （３）i1＝i2＝i时， B内＝Ｂ外＝0.707μ０i ２３、 习题２０中若i1和i2之间成任意夹角，情形如何？ 解：设i1和i2夹角为θ，Ｂ１和Ｂ２的夹角为θ或π－θ。 （１）两平面之间 B? （２）两平面之外 B? （３）i1＝i2＝i时， B内?1222?0i1?i2?2i1i2co?s
i1 i2 i2 1222?0i1?i2?2i1i2co?s
22?0i1?cos? Bqh?22?0i1?cos?
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《电磁学》思考题和计算题 第四章
２４、 半径为Ｒ的无限长直圆筒上有一层均匀分布的面电流，电流都绕着轴线流动并与轴
线垂直，面电流密度为i，求轴线上的磁感应强度。 解：半径为Ｒ的圆电流Ｉ在轴线上离圆心为r处产生的
磁感应强度B的方向为Ｉ的右旋进方向。其大小
为
B?R ??0Idlsin904?r?R0?22?sin???0I?2?R4?r?RR?22?r?R22??0IR2r?R2?22?32 将载流螺线管看成是共轴圆电流的集合，由叠加原理得
B??0nIR22l?22dx?l??r?x?2?R2?3?2?0nI?2???r?l/2?r?l/2?2??R2r?l/2?r?l/2?2??2?R??
当l>>R时，是无限长螺线管
?0nI2?lim?l????r?l/2r?l/2????0nI??0i 2?R??B??r?l/2?2??R2?r?l/2?2２５、 半径为Ｒ的无限长直圆筒上有一层均匀分布的面电流，电流都绕着轴线流动并与轴
线方向成一角度α，即电流在筒面上沿螺旋线向前流动。设面电流密度为i，求轴线上的磁感应强度。
解：将i分解成沿圆周和沿轴线两个分量。前者在轴线上
产生磁场，后者因均匀分布在整个圆柱面上，在轴线上产生的场为零。因此轴线上的场仅由沿圆周的电流分量产生。
利用上题结果，B??0isin?α
２６、 一很长的螺线管，由外皮绝缘的细导线密绕而成，每厘米有35匝。当导线中通过
的电流为2.0A时，求这螺线管轴线上中心和端点的磁感应强度是多少高斯？ 解：螺线管中心处 B0??0nI?8.8?10?3T?88高斯
螺线管端点处 B??0nI/2?4.4?10?3T?44高斯 （不考虑边缘效应时，Ｂ端=B0/2）
２７、 一螺线管长1.0m，平均直径为3.0cm，它有五层绕组，每层有850匝，通过的电流
是5.0A ,求管中心处的磁感强度为多少高斯？ 解：B??0nI1?(2R/l)2?2.7?10?2T
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《电磁学》思考题和计算题 第四章
２８、 用直径0.163cm的铜线绕在6cm直径的圆筒上，做成一个单层螺线管。管长30cm，
每厘米绕5匝。铜线在750C时每米电阻0.010Ω(假设通电后导线将达此温度)。将此螺线管接在2.0V的蓄电池上，其中磁感强度和功率消耗各多少？ 解：B?1212L/2R?(L/2)22?0nI(cos?1?cos?2)??0nI?2?43高斯
电流Ｉ＝Ｅ／Ｒ， Ｐ＝Ｉ２Ｒ＝１４Ｗ
２９、球形线圈是由表面绝缘的细导线在半径为R的球面上密绕而成，线圈的中心都在同一
直径上，沿这直径单位长度的匝数为n，并且各处的n都相同。设该直径上一点P到球心的距离为x，求下列各处的磁感强度B。（设电流强度为Ｉ）。 （１） x=0 （球心）； （２） x=R （该直径与球面的交点）； （３） x
解：利用圆电流在轴线上离圆心为x处产生的磁感强度公式
B??0RI2?R?r0222
?32（１） x＝０处
dB0?Ｒ 2?0(nIdx)(Rsi?n)2x?(Rsi?n)α
Ｏ x ?0nI21x ?22?32B0??0nI2?R(Rsin?)dx2?R?x2?(Rsin?)2?3?2??1sin?dcos??223?0nI（２） x=R处
?0(nIdx)(Rsin?)2??x?R?22dBA??(Rsin?)2?3?2?0nI2(Rsin?)dx2
22Rcosβ Ｒ Ａ β Ｏ x α x ??x?R?22?(Rsin?)?32 其中 ??2? x?Rcos??Rcos2? ?x?R?2?(Rs?0nI2Ri?n)?(2Rco?s)22
?0nI20/2BA??(Rsin?)dx?R??x?R?0/232?(Rsin?)2?3?2??sin22?d(cos2?)8cos?3
???0nI??sin?d??23?0nI
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