《电磁学》思考题和计算题 第四章
?0I1I2?0I1I2?1?6b?23a?6b?23a ??3?0I1I2ae?lne?ln??xx?(6b?3a)3?6b?3a3a6b???36b?3a?? ?ex3a?２５、 载有电流Ｉ１的长直导线旁有一平面圆形线圈，线圈半径为r，边长为a，载有电流
Ｉ２，中心到直导线的垂直距离为l ,直导线与线圈都在同一平面内，求Ｉ１作用在这圆形线圈上的力。
解：由对称性可知，圆的上下两半相应位置的电流元所受的力平行于直线的分量大小相等而
方向相反，互相抵消；垂直于直线的分量大小相等而方向相同，所以整个线圈所受的力θ 大小等于 dF F?2??0?dF?cos???2??0?I2Rd??????cos???2?l?Rcos??????RR?l2l?R22?0I1
l?R??arctan(tan?l?R2???1? ??0I1I2R???l?Rcos???0cos?d?1?0I1I2R???I R θ I2
dF ??0???0I1I2???ll?R22??1? ?? 方向向左
e2m２６、 试证明电子绕原子核沿圆形轨道运动时磁矩与角动量大小之比为 ???回转磁比率）。磁矩与角动量各沿什么方向？ 解：电子绕核运动的磁矩 m?IS????eT（经典
?rn?2??e2?rn?2??e2?vrn 方向与n方向相反
????n 方向与n方向相同 电子绕核运动的角动量 L?r?mv?mvr?en + -e v 磁矩和角动量之比
mL?2mvr?r2??22m
２７、 一电磁式电流计线圈长a=2.0cm，宽b=1.0cm，N=250匝，磁极间隙内的磁感强度
B=2000高斯。当通入电流I=0.10mA时，偏转角θ=300。求： （１） 作用在线圈上的磁偏转力矩Ｌ； （２） 游丝的扭转常数Ｄ。
???8解： （１）磁偏转力矩 L?m?B?NIabB?1?10(N?m)
（２）K?L/??NIabB/??3.3?10?3(N?m/度)
２８、 一电磁式电流计中线圈面积S=6.0cm,由５０匝细导线绕成。磁极间隙Ｂ=100高斯，
游丝的扭转常数Ｄ=0.10达因厘米／度。求通有1.0mA的电流时的偏转角度。 解： ??NIabB/K?30
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《电磁学》思考题和计算题 第四章
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§4.5 带电粒子在磁场中的运动
思考题： １、
指出下图中各情形里带电粒子受力的方向
· · v · ·
B q v B · · · · v q － ＋
· · · · q + Ｂ · · · · ???答：根据洛伦兹力公式 F?qv?B可知 · · v · · · q · · · ＋ · · · · Ｂ Ｆ向右· · · · ２、
v B － q v B
。 q>0- q<0 B × v
B q v B B v B v q<0 B 。 v ● －× v q + ×－ q q>0- Ｆ向外 Ｆ向里 Ｆ＝０ Ｆ向左 Ｆ向下
如图所示，在阴极射线管上平行管轴放置一根载流直导线，电流方向如图所示。射
线向什么方向偏转？电流反向后情况怎样？
答：电流产生磁场，电子在磁场中运动受到洛伦兹力作用，
射线将向下偏转。
电流反向后，磁场反向，射线将向上偏转。 ３、
- F I 如图所示，两个电子同时由电子枪射出，它们的初速度与匀磁场垂直，速率分别是
× × × × × V和2V。经磁场偏转后，哪个电子先回到出发点？
× × × × × 2v v × × × × × 答：电子在磁场中受洛伦兹力作用而作匀速圆周运动R?mv/qB，
× × × × × × × × × × T?2?m/qB，与Ｖ无关。因此两电子同时回到出发点。
× × × × × ４、
云室是借助于过饱和水蒸汽在离子上凝结，来显示通过它的带电粒子径迹的装置。这里有一张云室中拍摄的照片，云室中加了垂直纸面向里的磁场，图中a、b、c、d、e是从O出发的一些正电子或负电子的径迹。
× a （２） abc三条径迹中哪个粒子的能量（速率）最大？哪个最小？ ×× b 答：（１）向右偏转的d、e是正电子，向左偏转的a、b、c是负电子。 × （２）速率越大的粒子，回转半径越大。R?mv/qB
（１） 哪些径迹属于正电子的，哪些属于负电子的？
× × × × × × × × × × × × × × ×
× ×
× × e d ×
× × × × × × × c × × × ×
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因此a、b、c三条径迹中，c粒子能量最大，a粒子能量最小。 ５、
图中所示是磁流体发电机的示意图。将气体加热很高的温度（譬如2500K以上）使
之电离（这样一种高度电离的气体叫做等离子体），并让它通过平行板电极1、2之间，在这里有一垂直于纸面向里的磁场B。试说明这时两电极间会产生一个大小为vBd的电压（v为气体流速，d 为电极间距）。哪个电极是正极？ 答：设带电粒子的运动速度与气体流速相等。当
磁流体发电机中的等离子体（气体流）通过电极1、2之间时，正离子受到一个向上的力，偏向上极板，上极板成为正极；负离子受到向下的力偏向下极板，下极板成为负
极。设正、负极板的电量分别为+q和—q，电位分别为U1和U2，则两极板的电位能差等于洛伦兹力把+q电荷从负极板移到正极板所做的功,qU1—qU2=qvBd, 即U12= U1—U2=vBd。
???或者：最初，以速度Ｖ运动的带电粒子在磁场中受到洛伦兹力作用F?qv?B而偏
１ 高温 电离气流 × × × ×× × × ×２ 转，积累在两极板上的正负电荷形成电场，当离子所受电场力与洛伦兹力平衡时，离子不再偏转而沿前进方向通过两极板之间。 qvB?q６、
Ud 即此时两极板之间的电压为 U?vBd
试定性是说明磁镜两端对作回旋运动的带电粒子能起反射作用。
答：在载流线圈附近，由弱到强的磁场位形，叫做磁镜。 当一个带电粒子沿磁感应线作回旋运动由较弱的磁场区域进入较强的磁场区域时，随着B的增加，其横向动能（在梯度不是很大的非均匀磁场中，磁矩mv?/2也要增加。M是不变量，M?mv?/2B2222v⊥ v v// 2）；但由于洛伦兹力是不作功的，
带电粒子的总动能mv/2?m(v??v//)/2保持不变，于是
2纵向动能mv///2和纵向速度就要减小。当区域中的磁场变得足够强时，纵向速度v//可能变
为零，这时引导中心沿磁感应线的运动被抑止，而后沿反方向运动。带电粒子的这种运动方式就象光线遇到镜面发生反射一样。因此磁镜两端对作回旋运动的带电粒子能起反射作用。 例如：地球磁场中心弱，两极强，是一个天然的磁镜。内、外两个环绕地球的辐射带，就是地磁场所俘获的带电粒子组成。
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―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 习题： １、
一电子在Ｂ=70高斯的匀强磁场中作圆周运动，圆的半径为r=3.0cm。已知电子的
电荷和质量，Ｂ垂直纸面向外，电子的圆轨道在纸面内。设电子某时刻在Ａ点，它的速度Ｖ向上。
（１） 画出电子运动的圆轨道； （２） 求这电子速度的大小Ｖ； （３） 求这电子的动能ＥＫ。 解： （１）电子运动轨道如图所示。 （２）电子的速率为 v?erBm12?3.7?10m/s
7· · · · · · · ·
v B
· · · · · · · · · · · · · －Ａ · · ·· · · · · · · · · · · · · · · ·
（３）电子的动能为 EK?２、
mv2?6.2?10?16(J)?3.9?10(eV)
3带电粒子穿过过饱和蒸汽时，在它走过的路径上，过饱和蒸汽便凝结成小液滴，从
而使得它运动的轨迹（径迹）显示出来，这就是云室的原理。今在云室中有B=10000高斯的均匀磁场，观测到一个质子的径迹是圆弧，半径r=20cm，已知这粒子的电荷为e ,质量为1.67×10kg，求它的动能。 解：带电粒子的运动方程为 qvB?m 带电粒子的动能为 EK?３、
12-27
v2r
mv2?1?qrB2m?2?1.92MeV
测得一太阳黑子的磁场为B=4000高斯，问其中电子以（1）5.0×107cm/s，（2）
5.0×108cm/s的速度垂直于B运动时，受到的洛伦兹力各多大？回旋半径各有多大？ 解：电子受到的洛伦兹力的大小为F1?ev1B?3.2?10?14(N) F2?ev2B?3.2?10?13(N)
电子作圆周运动的回转半径为R1?４、
mv1eB?7.1?10?6(m) R2?mv2eB?7.1?10?5(m)
一电子的动能为10eV，在垂直于匀强磁场的平面内作圆周运动。已知磁场为B=1.0
高斯，
（１） 求电子的轨道半径Ｒ；（２）电子的回旋周期Ｔ； （３）顺着Ｂ的方向看，电子是顺时针回旋吗？
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《电磁学》思考题和计算题 第四章
解： （１）R?mveB?2mEeBk?0.11(m)（２）T?2?meB?3.6?10?7(s)?0.36微秒
（３）是顺时针回旋。 ５、
一带电粒子的电荷为q=3.2×10-19C，质量m=6.7×10-27kg，速率v=5.4×104m/s，在磁
场中回旋半径Ｒ=4cm，求磁感强度Ｂ。 解： 带电粒子的运动方程为 qvB?mv2r
磁感强度为 B?６、
mvqR2?2.8?10高斯
一电子的初速度为０，经电压Ｕ加速后进入均匀磁场，已知磁场的磁感强度为Ｂ，
电子电荷为－e，质量为m，电子进入磁场时速度与Ｂ垂直，如附图所示， （１） 画出电子的轨道； （２） 求轨道半径Ｒ；
（３） 电压Ｕ=3000V,B=100高斯时，Ｒ＝？ 解： （１）电子轨道如图所示。
（３） 轨道半径 R?（４） Ｒ＝1.85cm ７、
mveB?1B2mUe· · · · · · · ·
B
· · · · · · · · · · · · · · · · v · · · · · · · ·
· · · ·
· · · · · · · · · · · ·
电子以v=3.0×107m/s的速度射入匀强磁场Ｂ内，它的速度与Ｂ垂直，Ｂ=10T。已
知电子的质量为m=9.11×10-31kg，电荷量为q=1.6×10-19C，求这电子所受的洛伦兹力，并与它在地面所受的重力加以比较。
解：电子所受洛伦兹力大小为 F?evB?4.8?10?11(N)
?30电子在地面所受重力大小为 FG?mg?8.9?10(N)
两者之比为
FFG?5.4?1018
１８
即此时电子所受的洛伦兹力为重力的１０倍。 ８、
一电子在匀强磁场中作圆周运动，频率为f=12MHz,半径为r=0.535m。已知电子的
质量为m=9.11×10-31kg，电荷量为q=1.6×10-19C，求： （１） 磁感强度Ｂ；（２）电子动能
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