《电磁学》思考题和计算题 第四章
（３）
x dBP??0(nIdx)(Rsi?n)2?x?r??(Rsi?n)22?2?3?2?0nI2(Rsi?n)dx2 2??x?r?22?(Rsi?n)?3Ｒ Ａ P α r Ｏ x x 2 BA??0nI221?R(Rsin?)dx2 因为 x?Rcos? 2?R??x?r?222?(Rsin?)? 3BA??0nIR22?sin?dcos??1?r2?R?2rRcos??32??0nIR21?22?33?2r?R4rR????r?R?2rRcos??2213?r2?R?2rRcos?2?3/2??R?r?22r?R?2rRcos??????2?22???0222222???0nI?21R?r?1R?r??33222??2?r?R??R?r???R?r???2?r?R??R?r???R?r???3??8r?3R?r?3R?r???? ?23?0nI 可见Ｂ与r无关，球内轴线上各点的Ｂ都相同。 （４） x>R处 ?0(nIdx)(Rsin?)2?x?r??(Rsin?)22dBP??2?23?2?0nI2(Rsin?)dx2??x?r?2?(Rsin?)2?3 2Ｒ α P Ａ r Ｏ x x BA??0nI2?R(Rsin?)dx形式上与（３）相同 2?R??x?r?22?(Rsin?)?32 利用 x?Rcos? BA??0nIR222?1sin?dcos? ?1?r2?R?2rRcos?2?32??0nIR21?22?33?2r?R4rR????r?R?2rRcos??2213?r2?R?2rRcos?2?3/2??R?r?22r?R?2rRcos??????2?22???0 222222??????0nI?21R?r1R?r33222?????????????2r?RR?r?R?r??2r?Rr?R?r?R???3??8r?3R?r?3r?R???? ?R???0nI??3?r?23 球外轴线上的Ｂ与Ｐ到球心距离的三次方成反比。 ?R?r(r?R)?r?R(r?R)注：（1）r2?R2?2rRcos??0???r2?R2?2rR?? （2） ?1sin?dcos?2?1?r2?R?2rRcos?2?3?2?1(1?x)dx2 ?1?a?bx?32 ??23b3a?bx?b?x22?3?4ax?8a?2x?1x??1??4?3R3(r?R) ??4?(r?R)3?3r134 《电磁学》思考题和计算题 第四章 ３０、半径为R的球面上均匀分布着电荷，面密度为σ，当这球面以角速度ω绕它的直径旋 转时，求转轴上球内和球外任一点（该点到球心的距离为x）的磁感强度Ｂ。 解：球面上θ处宽为Rdθ的环带上的电荷量为 Ｒ 2dQ???2?Rsin??Rd??2??Rsin?d? Ａ P dQ随球面旋转，形成圆电流 dI?dQT?α r Ｏ x ω ?dQ2????Rsin?d?2 圆电流dI在轴线上离圆心为r 处产生的磁感强度B沿I的右旋进方向，大小为 ?0(Rsin?)dI2?r?Rcos?2dBP???2?(Rsin?)2?3/2??0??R22sin?d?3??r?Rcos??2?(Rsin?)2? 3/2（１） 球内一点 ?0??R22BP???sin?d?30??r?Rcos??12?(Rsin?)2? 3/2??0??R22?122?33?r?R?2rRcos?4rR?3???3/2?2r?R?22?r?R?2rRcos??22??22r?R?2rRcos??????2?R?r22???0 ??0??R24?14rR33163r?323?0??R??0Q6?R? 上式表明，Ｐ点的Ｂ与r无关，即球面内轴线上任一点的Ｂ都相等。 （２） 球外一点 ?0??R22BP???sin?d?30??r?Rcos???2?(Rsin?)2?3/2 ??0??R22?122?33?r?R?2rRcos?4rR?3?1?3/2?2r?R3?22?r?R?2rRcos??22??22r?R?2rRcos??????2?R?r22???0??0??R24?14rRr21633?Q?R??R?R??0??R???0???336?R?r??r?323 注：（１） ?R （２）磁矩 ?R?r(r?R) ?2rR??r?R(r?R)????12?22?3dm?dIS???Rsin?d????Rsin???QR?sin?d? ?42?2rRcos??0???r2?R2?11?2?32?m?QR??sin?d??QR?043 135 《电磁学》思考题和计算题 第四章 ３１、半径为Ｒ的圆片上均匀带电，面密度为σ，令该片以匀角速度ω绕它的轴旋转，求轴 线上距圆片中心Ｏ为x处的磁场。 解：在圆片上取半径为x，宽为dx的环带， 环带所带的电荷量为 dq???2?xdx?2??xdx ? dBP?R ω O r Ｐ ?0x?dq4?r?x12?2??223/2???0x??2??xdx2??4?r?xxdx3?223/2??12?0???xdx3?r2?x23/2? B?P?0???R0?r2?x2?3/2??22??0???r?x?2??1? ?22r?x??x?0r2x?R2?2?? ?1?0??r?2R?2r?? 222??r?x??? 对应的磁矩为 m???SdI??R0?x2?????2?xdx??T?14??R? -8 4?３２、氢原子处在正常状态（基态）时，它的电子可看作是在半径为a=0.53×10cm的轨道 （叫做玻尔轨道）上作匀速圆周运动，速率为v=2.0×10cm/s。求电子的这种运动在轨道中心产生的磁感强度Ｂ的值。 解：电子的运动相当于半径为R的圆电流，在圆心处产生的磁感强度大小为 B??0I2R?8 ?0e2RT??0ev2R2?R??0ev4?R25?12.5T?1.25?10高斯 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ４§4.3 磁场的高斯定理与安培环路定理 思考题： １、（１）在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是平行直线，磁感强度Ｂ的大小在沿磁 感应线和垂直它的方向上是否可能变化（即磁场是否一定是均匀的）？ （２） 若存在电流，上述结论是否还对？ 答：（１）磁场一定是均匀的。（２）存在电流时，磁场不均匀。证明如下—— Ｂ 作圆柱形高斯面，由高斯定理可证明Ｂ１＝Ｂ２； Ｂ４ Ｂ作矩形环路，由环路定理，Ｌ不包围电流时，Ｂ３＝Ｂ４， ２ Ｌ包围电流时，Ｂ３≠Ｂ４ Ｂ１ Ｂ３ 136 《电磁学》思考题和计算题 第四章 ２、 根据安培环路定理，沿围绕载流导线一周的环路积分为 ?0RI2R?r02???B?dl??0I。现利用圆 形电流轴线上一点磁场的公式 B?，验算一下沿圆形载流线圈轴线的积分 ?22?32???????B?dl??????Bdx??0I。为什么积分虽未绕电流一周，但与闭合环路积分的结果一样？ 答：验算 ??????????B?dl?2?Bdx?2?00?0RI2R?r02?22?32dx??0RI?2?dx0?R2?r02?3??0I 2 此结果与闭合环路积分的结果一致。原因是对于有限的电流分布来说，无限远处磁场为 零。可以想象在无限远处，从－∞到＋∞连结一条曲线Ｌˊ，使积分闭合，但在Ｌˊ段，由于Ｂ＝０，对环路积分无贡献。 ３、 试利用B??0nI和安培环路定理，证明无限长螺线管外部磁场处处为零。这个结论 Ｌ 答：由对称性可知，螺线管内外任一点的磁感强度的方向必 定都平行于轴线。作矩形安培环路Ｌ，使其长为l的一边沿螺线管的轴线，对边在螺线管外，其上各点的磁感强度为Ｂ０ Ｉ ??B?dl??0nIL?B0L??0nI 成立的近似条件是什么？仅仅“密绕”的条件够不够？ Ｉ ? 即 Ｂ０＝０ 这一结论成立的近似条件是： 密绕螺线管，且螺线管长>>螺线管半径Ｒ。 ４、 在一个可视为无穷长密绕的载流螺线管外面环绕 ??一周，环路积分?B?dl等于多少？ ??答：?B?dl??0I Ｌ Ｉ Ｉ ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 习题： １、 一载有电流Ｉ的无穷长直空心圆筒，半径为Ｒ（筒壁厚度可以忽略），电流沿它的 轴线方向流动，并且是均匀地分布的。分别求离轴线为r ?B1?0(r?R)??? （在r=R的面上，Ｂ＝（Ｂ１＋Ｂ２）／２） ?0IB?dl??0I??B2?(r?R)?2?r? ?137 《电磁学》思考题和计算题 第四章 ２、 有一根长的载流导体直圆管，内半径为a，外半径为b，电流强度为Ｉ，电流沿轴线方 向流动，并且均匀地分布在管壁的横截面上。空间某一点到管轴的垂直距离为r。求： （１） rb等各处的磁感强度。 解：根据对称性和安培环路定理 ??B1?0(r?a)????0Ir2?a2?B?dl??0I??B2?(a?r?b) 222?rb?a???0IB?(r?b)?22?r?I a b ?３、 一很长的导体直圆管，管厚为5.0mm，外直径为50mm，载有50A的直流电，电流 沿轴向流动，并且均匀地分布在管的横截面上。求下列几处的磁感强度Ｂ的大小： （１） 管外靠近外壁； （２） 管内靠近内壁； （３） 内外壁之间的中点。 解： 根据对称性和安培环路定理可求得 （１）B1??0I2?r?r?R?0I2?R?4.0高斯 （２）B2?0 （３）B3?４、 ?0Ir2?a22?rb?a22R?(a?b)/2?2.1高斯 电缆由一导体圆柱和一同轴的导体圆筒构成。使用时，电流Ｉ从一导体流去，从另 一导体流回，电流都是均匀地分布在横截面上。设圆柱的半径为r1,圆筒的内外半径分别为r2和r3。r为到轴线的垂直距离，求磁感强度的分布。 解：根据对称性和安培环路定理 ??B1?????B2B?dl??0I????B2???B2??0I2?r12(r?r1)????0I2?rr1 (r1?r?r2)232 r2 r3 I ?0Ir?r2?rr32?r22(r2?r?r3)?0(r?r3)138