《电磁学》思考题和计算题 第四章
１３、 一边长为a的正方形线圈载有电流Ｉ，处在均匀磁场Ｂ中，Ｂ沿水平方向，线圈可
以绕通过中心的竖直轴ＯＯ′转动，转动惯量为Ｊ。求线圈在平衡位置附近作微小摆动的周期。
????2?解：线圈所受磁场作用的力矩为 L?m?B?Ian?B
力矩的大小为 L?IaBsin?
当θ＝０时达到平衡；当θ很小时，线圈作微小振动。sin??? 运动方程为 Jd?dt222a Ｉ
??L??IaB??2d?dt22?IaBJ2??0
2?JIaB2这一方程表明，线圈作简谐振动，其振动的周期为 T???2?
１４、 一矩形线圈的大小为8.0×6.0cm2，每cm长的质量为0.10g，可以绕ab边自由转动，
外磁场Ｂ沿y轴方向。当线圈中载有电流Ｉ＝10A时，线圈离开竖直位置，偏转300。 （１） 求磁感强度Ｂ的大小；
（２） 如果Ｂ是沿x轴方向，线圈将如何？
30 解：（１）重力矩的大小为 Lg??gl2(l1?l2)sin? z 方向是使θ减小；
安培力矩大小为 LM?mBsin(?2??)?Il1l2Bcos? 方向是使θ增大；
0y(B) x 平衡时 Lg?LM?B??g(l1?l2)tan?1.3?10?2(T)
Il1 （２）Ｂ沿x轴方向时，两力矩方向相同，线圈只有在θ＝０时才能平衡。线圈不偏转。 １５、 一半径为Ｒ=0.10m的半圆形闭合线圈，载有电流Ｉ=10A，放在均匀外磁场中，磁
场的方向与线圈平面平行。磁感强度的大小B=5.0×103高斯。 （１） 求线圈所受力矩的大小和方向；
（２） 在这力矩的作用下线圈转900（即转到线圈平面与Ｂ垂直），求力矩所作的功。 ?????解：（１）线圈所受力矩为 L?m?B?ISn?B 方向向上
其大小为 L?ISB?7.9?10?2N?m
0 （２）转动过程中力矩所作的功为 A????/2Ld??ISB?12?RIB?7.9?102?2J
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《电磁学》思考题和计算题 第四章
１６、 一圆线圈的半径为Ｒ，载有电流Ｉ，放在均匀外磁场Ｂ中，线圈的右旋法线方向与
Ｂ的方向相同，求线圈导线上的张力。
???解：考虑Ｂ作用在半圆环上的安培力，dF?Idl?B
· · · Ｉ· · dl ·B 沿半径方向，dF?IBdl
由对称性可知，半圆环所受安培力方向向上，其大小为
F?dF · · · · · · · · · · · ·
Ｔ Ｔ
??dFsin??IBRF2?0sin?d??2IBR
· · · · · ·
所求张力为 T??IBR
１７、 半径Ｒ=10cm的圆线圈由表面绝缘的细导线密绕而成，共绕有2000匝；当导线中
通有2.0A电流时，加上外磁场Ｂ，Ｂ的方向与线圈平面平行，Ｂ的大小为5.0×10Ｔ.求磁场作用在线圈上的力矩。 解：L?NISBsin??NISB?6.3N?m
１８、 一螺线管长30cm,横截面的直径为15mm，由表面绝缘的细导线密绕而成，每厘米
绕有100匝.当导线中通有2.0A的电流后，把这螺线管放到Ｂ=4.0T的均匀磁场中，求： （１） 螺线管的磁矩；
（２） 螺线管所受的力矩的最大值。 解： （１）磁矩为 m?NIS?1.06(A?m)
（２）所受力矩的最大值为 L?NISB?4.2N?m
１９、 两条很长的平行输电线相距20mm，都载有100A的电流，分别求电流方向相同和
相反时，其中两段一米长的输电线之间的相互作用力。 解： 由毕—萨定律可知，Ｉ１在Ｉ２处产生的磁感强度为B1?I2上的电流元受到的作用力为 dF12?I2dl2B1?dF12dl22-2
?0I12?ddl2
Ｉ１ d Ｉ２
?0I1I22?d单位长度的I2导线受力为
??0I1I22?d?0.1N
电流方向相同时，两电线相互吸引；电流方向相反时，两电线相互排斥。
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《电磁学》思考题和计算题 第四章
２０、 发电厂的汇流条是两条三米长的平行铜棒，相距50cm；当向外输电时，每条棒中
的电流都是10000A。作为近似，把两棒当作无穷长的细线，计算它们之间的相互作用力。 解：无限长直线电流在距离为r处产生的磁感强度Ｂ的大小为 B?两棒之间相互作用力大小为
F??0I2?r
?0I1I22?r2l?1.2?10N
２１、 长直导线与一正方形线圈在同一平面内，分别载有电流Ｉ１和Ｉ２，正方形的边长为
a，它的中心到直导线的垂直距离为d.
（１） 求这正方形载流线圈各边所受Ｉ１的磁场力以及整个线圈所受的合力； （２） 当Ｉ１=3.0A,Ｉ２=2.0A, a=4.0cm, b=4.0cm时，求合力的值。 解：（１）无限长直线电流在距离为r处产生的磁感强度Ｂ的大小为
B??0I2?r
dr?线圈的各边所受安培力分别为
FAB??FCD?A Ｉ2 B d Ｄa
Ｃ
?d?a/2?0I1I22?r?0I1I22?rd?a/2ln2d?a2d?a
FBc?I2a?0I12?(d?a/2) 方向向右
FDA?I2a?0I12?(d?a/2) 方向向左
线圈所受的磁场力的合力为
F?FDA?FBC??0I1I2a2?(d?a/2)??0I1I2a2?(d?a/2)?2?0I1I2a22?(4d2 方向向左
?a) （２）F?2?0I1I2a22?(4d2?a)?1.6?10?6(N)
２２、 载有电流Ｉ１的长直导线旁边有一正方形线圈，边长为
２a，载有电流Ｉ２，线圈中心到导线的垂直距离为b，电流方向如图所示。线圈可以绕平行于导线的轴Ｏ１Ｏ２转动，求：
Ｉ１ （１） 线圈在α角度位置时所受的合力Ｆ和合力矩Ｌ； （２） 线圈平衡时α的值；
（３） 线圈从平衡位置转到α=π/2时，Ｉ１作用在线圈上的力作了多少功？
２a Ｉ２
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《电磁学》思考题和计算题 第四章
解：（１）Ｉ１作用在各边上的力分别为 FAB?2al2B1?2aI2?0I1?2?rAB?0I1I2a?a2
Ｉ１ ?b22?2abco?s2 FCD?2al2B1?2aI2?0I1?2?rCD?0I1I2a?a?b?2abcos?Ｂ αＣ
２a Ｉ２
Ａ Ｄ b FBC=－FAD 互相抵消。
??? Ｉ１作用在线圈上的合力为 F?FAB?FCD
其大小为 F?22FAB?FCD?2FABFCDcos?
??0I1I2a?21rAB22?1rCD22?2rABrCDcos?
Ｉ１ θ α ＦＡＢ ⊙ ＦＣＤ × ＦＣＤ
因为
cos??rAB?rCD?(2a)22rABrCD
22所以 F?2?0I1I2a?2?0I1I2a1
222?rABrCD??a2?b2?2?4abcos? 为说明Ｆ的方向，取直角坐标系如图所示，
Fx?FCDcos??FABcos?Fy?FCDsin??FABsin?
Ｉ１ y × θ α ＦＣＤ ＦβＡＢ ⊙ γ ＦＣＤ x F与x轴之间的夹角为 ??arctanFyFx
由图可见 sin??asin? cos??b?acos?
rABrAB sin??arCDsin? cos??a?ba?b2222b?acos?rCD
代入得 ??arctan(tan?)
线圈所受的力矩为ＡＢ和ＣＤ两边受力对转轴的力矩之和。
?0I1I2ab?sin??1r2CD L?FABbsin??FCDbsin??2??rAB?sin??? rCD?2 ??0I1I2absi?n?1??2?rAB?2?0I1I2aba?bsi?n? ??222222??a?b?4abcos????22??? Ｌ的方向是使α减小的方向。
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《电磁学》思考题和计算题 第四章
（２）当Ｌ＝０时，线圈达到平衡。
α＝０（稳定平衡）； α＝π（不稳定平衡）
（３）线圈从α＝０转到α＝π／２时，作用在线圈上的力所作的功为 A???/20Ld??2?0I1I2aba?b2?22????/2si?n0?a2?b2?2?4abcos?2222d?
???0I1I2a2?lna?b?2abcos?a?b?2abcos?2222???/2??0??0I1I2a2??a?b? ln???a?b?２３、 如图所示，一根长直导线载有电流３０Ａ,长方形回路和它在同一平面内，载有电流
２０Ａ。回路长30cm，宽8.0cm，靠近导线的一边离导线1.0cm。求直导线电流的磁场作用在这回路上的合力。
解：F???0I1I2a??0I1I2a???0I1I2ab?3.2?10?3N
2?c2?(b?c)2?c(b?c)b I2
I1 c a
Ｆ的方向向左，即指向Ｉ１。
２４、 载有电流Ｉ１的长直导线旁有一正三角形线圈，边长为a，载有电流Ｉ２，一边与直
导线平行，中心到直导线的垂直距离为b ,直导线与线圈都在同一平面内，求Ｉ１作用在这三角形线圈上的力。 解：FAB?I2a?0I12?(b?3a/6)?3?0I1I2a 方向向左
dlr?(6b?3a)FBC?FCA???a0??0I1??0I1I2I2dl???2??2?r?dlb?3a6?32l?a
I1
0
??0I1I22?a
B b A I2 C a 0
??0I1I2?ln?b??3??3a6?3?l?2??a0??0I1I23?ln6b?23a6b?3a
因FBC和FCA对于三角形的顶角C是对称的，平行于I1的分量大小相等而方向相反，所以二者的合力为
????II6b?23a?0?FBC?FCA?2FBCcos60ex?FBCex?012lnex
3?6b?3aFAB B A FBC I2 C FCA
三角形的线圈的三边所受安培力之和为
??????F?FAB?FBC?FCA??FABex?FBCex
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