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圆
从难度上看，需掌握垂径定理、圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距间的关系定理，直径与圆周角的性质的简单运用。所以，教师复习时，要在难易方面有所体现。
一、【知识网络】
点和圆的位置关系 圆的定义 不在同一直线上的三点确定一个圆
对称性 垂径定理 圆周角定理 圆的性质 圆心角、圆周角、弧、弦、 弦心距间的关系定理 相交 直线与圆的有关性相切 相离 内含 内切d=R-r 相切 圆与圆的位置关相交 外离 圆周长、弧长 圆的有关计算 圆、扇形、弧开面积 圆柱、圆锥展开图 1、理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系。
2、探索圆的性质：垂径定理，圆心角、圆周角、
1 切线的判定 切线的性质 内、外心 圆 外切d=R+r
二、【考点分析】
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弧、弦、弦心距间的关系定理，直径与圆周角的性质。
3、探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线。
4、了解三角形的内心、外心。 5、a、h、r、d中，知二求二
6、会计算弧长及扇形的面积，阴影图形面积，圆锥的侧面积和全面积。
7、试题分布
1、圆中角度、线段计算、位置关系的判定多以选择题出现.
2、圆的证明与综合计算分布在第22题.
8、考点解读
1、与圆有关位置关系的判定； 2、与圆有关的计算，重点是考查垂径定理、圆周角定理、切线长定理，并能综合运用勾股定理、三角函数、全等、相似等知识；
3、与圆有关的证明，重点是切线的证明，注意与圆有关的角的转化；注意在图中去发现寻找基本图； 4、圆常见辅助线的作法：（1）作弦心距；（2）直径所对圆周角；（3）连接圆心和切点.
三、【技能方法】
1、能正确利用用辅助线解决圆的证明和计算（已知r，作弦；与弦有关作弦心距；与切线有关作半经）
2、能用比较、分析、综合、数形结合、化归、建模等数学思想方法解答比较简单的综合性、实际性问题。
3、充分感受数学与现实生活的紧密联系。
四、【重要定理】垂径定理分析
知识考点：
1、垂径定理及其推论是指：一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧。这五
个条件只须知道两个，即可得出另三个（平分弦时，直径除外），要求理解掌握。
2、掌握垂径定理在圆的有关计算和证明中的广泛应用。
精典例题：
【例1】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE＝2cm，BE＝6cm，∠CEA＝300，求：
（1）CD的长；
（2）C点到AB的距离与D点到AB的距离之比。
分析：有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，
所以连半径、作弦心距是圆中的一D种常见辅助线添法。
解：（1）过点O作OF⊥CDF于F，连结DO AGEO?HB ∵AE＝2cm，BE＝6cm，C∴AB＝8cm
∴⊙O的半径为4 cm
∵∠CEA＝300，∴OF＝1
例1图 cm
∴DF?OD2?OF2?15cm
由垂径定理得：CD＝2DF＝215cm （2）过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，易求EF＝3cm
∴DE＝(15?3)cm，CE＝
(15?3)cm
∴
CGDH?CEDE?15?315?3?3?52 【例2】如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD，它们的交点E到圆C心O的距离等于1，则AB2?CD2＝（ ）
O?NA、28 B、26
AEMB2 D例2图 名思教育盛泽校区教研中心
C、18 D、35
分析：如图，连结OA、OC，过O分别作AB、CD的垂线，垂足分别为M、N，则AM＝MB，CN＝ND。
∵OM⊥MN，ME⊥EN，CN＝ND
∴OM2?ON2?OE2
从而OA2?AM2?OC2?CN2?OE2
即22?(AB2CD2)?22?(22)?12
∴AB2?CD2?28
故选A。
【例3】如图，等腰△ABC内接于半径为5cm的⊙O，AB＝AC，tanB＝
13。求： （1）BC的长；
（2）AB边上高的长。
??分析：（1）已知AB＝AC，可得AB?AC，?则A为BC的中点。已知弧的中点往往连结这点和圆心，从而可应用垂径定理；（2）求一边上的高（或垂线段）可考虑用面积法来求解。
解：（1）连结AO交BC于D，连结BO
?? 由AB＝AC得AB?AC，又O为圆心
由垂径定理可得AO垂直平分BC
∵tanB＝13，设AD＝xcm，则BD＝3xcm
∴OD＝(5?x)cm 在
Rt
△
BOD
中
，
52?(3x)2?(5?x)2，解得x1?1，x2?0（舍
去）
∴BD＝3 cm，BC＝6 cm。
（2）设AB边上的高为h，由（1）得：AD＝1 cm，AB＝10cm
∵
S?ABC?12BC?AD?12AB?h ∴h?BC?AD310AB?5 探索与创
新：
【问
C题一】不过圆心的直线l交⊙O于C、D两
O?N点，AB是⊙O的直
于E，BF⊥AEMB径，AE⊥ll于（1）DF。
面三个圆例2图 如图，在下
中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；
（2）请你观察（1）中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论（不再标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程）；
（3）请你选择（1）中的一个图形，证明（2）所得出的结论。
ABDCO?例3图 ?①
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?AO?BECHDFl② 问题一图3
?③
分析：这是一道开放性试题，首先要根据直线l与AB的不同位置关系画出不同的图形（如下图），①直线l与AB平行；②直线l与AB相交；③直线l与AB或BA的延长线相交。其次根据图形写出一个两条线段相等的正确结论，结论也是开放的，这也是近几年中考命题的热点。
解（1）如下图所示。
BO?AECHDFl问题一图1 BO?ECHFDlA问题一图2
（2）EC＝FD或ED＝FC （3）以①图为例来证明。过O作OH⊥l于H
∵AE⊥l，BF⊥l，∴AE∥OH∥BF 又∵OA＝OB，∴EH＝HF，再由垂径定理可得CH＝DH
∴EH－CH＝FH－DH，即EC＝FD 【问题二】如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过A任作一直线与⊙
OOE1交于M，与⊙2交于N，问什么时候MN最长？为什么？
MPCAQN解析：任作两条过A的线段
DEF、MN，比较MN与EF的大O1OF2小，不好比较，根据垂径定理，
分别过OB1、O2作弦心距，易知
CD＝1问题二图 2EF，PQ＝12MN，比较
PQ与CD的大小即可（PQ＝O1O2）。发现O1O2是直角梯形的斜腰，大于直角腰，如果MN的一半正好是O1O2，则MN最长。
答案：当MN∥O1O2时，MN最长。
跟踪训练：
一、选择题：
1、下列命题中正确的是（ ）
A、平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
B、弦所对的两条弧的中点连线垂直平C分弦；
C、若两段弧的度数相等，则它们是等
弧；
?OD、弦的垂线平分弦所对的弧。
M2、如图，⊙O中，直径CD＝15cm，弦ABABD⊥CD于点M，OM∶MD＝3∶2，则AB选择第2题图 的长是（ ）
3、已知⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB
＝12 cm，CD＝16 cm， 4
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C、A、D三点在一条直线上，CD的延长线交O1 O2的延长线于P，∠P＝300，
则AB和CD的距离是（ ）
A、2cm B、14cm
C、2cm或14cm D、2cm或12cm 4、若圆中一弦与弦高之和等于直径，弦高长为1，则圆的半径长为（ ）
O1O2?23，则CD＝ 。
三、计算或证明题： 31、如图，Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC
A、1 B、
2C、2 D、52
二、填空题：
1、在半径为5cm的⊙O中，有一点P满足OP＝3 cm，则过P的整数弦有 条。
2、如图，⊙O中弦AB⊥CD于E，AE＝2，EB＝6，ED＝3，则⊙O的半径为 。 3、等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝1200，BC＝10 cm，则△ABC的外接圆半径为 。 4、圆内一弦与直径相交成300的角，且分直径为1 cm和5 cm两段，则此弦长为 。 5、如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，BD交OC于E，若AC＝4，AB＝5，则BE＝ 。
DAEB?OC第2题图 CDEAO?B第5题图
CADO?1O?2PB第6题图
6、如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，
＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB、AD的长。
C?EADB第1题图
2、如图，⊙O的半径为10cm，G是直径AB上一点，弦CD经过点G，CD＝16cm，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求AE－BF的值。
CEAGO?BFD第2题图
3、如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC的平分线交BC于D，交⊙O于E，且AC＝6，AB＝8，求CE的长。
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