高中物理竞赛精品讲义之—程稼夫篇(5)

R2Rcos?0?BDd?dcos?0?R cos???r1r2r2?dRR?(1?) r2dr2d(3R2?d2) 32R化简整理得：cos?0?例3：点电荷+q和-q’（q’

求：（1）求该电场线最终的场线与x轴间的夹角

（2）求该电场线或其最终的场线与x轴的交点c的位置 解：题给的那条由q发出的电场线将来去向何处，首先应该在q发出的千万条电场线中找出一条能达到B而未达到B的那条电场线在A发出时与AB的夹角α0 由于点电荷发出或者接受的电通量与该电荷的电量成正比，所以在写电量时均对应的电量表示，

q?2?(1?cos?0)?q'

4??2q'??0?arctan?1??

q??（1） 当???0时，题给的电场线将在B点，设这条电场线最终与AB夹角为β

q2?(1?cos?)2?(1?cos?) ?q'4?4?

解得??arccos?1????q(1?cos?)? q'?（2） 当???0时，

q4??2?(1?cos?)4??2?(1?cos?) ?(q?q')4?4?

解得??arccos?当????(1?cos?)?1?

?q?q'?q?0时，c点即为B点

如图,r1?ΔPCA中，

r2 x1sin??r1sin?

ΔPCB中，

x2sin??r2sin?

利用r1?r2，

x1sin? ?x2sin?

又(E,Eq,Eq')三角形中，

Eq'Eq ?sin?sin??q'sin? ?qsin?所以

x1q'?，另一个方程x2?x1?L x2qq'qL,?X2?L

q?q'q?q'?X1?例4.；两条均匀带电的无限平行直线，单位长的电荷量分别为λ和-λ，相距2a，两带电线

构成的平面为Z-X平面，使Z轴与两线平行且距离相等，取直角坐标，试证明。

（1） 电势为U的等势面半径为r?2ka?2??0U?的圆柱面，其中，圆k?exp2???k?1??k2?1a处。 柱的轴线与两带电的直线平行且共面，位置在x轴上，x0?2k?1（2） 在X-Y平面上，电场线的方程为x其中b为常量。

2即圆心在y轴上的圆，?y2?by?a2?0，

证明：本系统是一个相对Z轴具有一定对称性的系统，即在任意一个垂直于Z轴平面内，电场的分不相同，所以可在X-Y平面内讨论

（1） 写出P(X,Y)点处的电势表达式，设为U

U?U??U??r????????lnr??lnr??ln? ?2??02??04??0?r???2r?2?(x?a)2?y2，r?2?(x?a)2?y2

?(x?a)2?y2U?ln 224??0(x?a)?yk2(x?a)2?y2 ?22(x?a)?y?2??0U?，整理后的 ????2ka????k2?1??得证 ??2因为k?exp??2(x?k?122a)?yk2?1（2） 在X-Y平面内，如图写出P(X,Y)点电场强度为

E?E??E?

Ex???1x?a?1x?a?2??0r?r?2??0r?r??x?ax?a[2?]22??0r?r??1y?1y?2??0r?r?2??0r?r?

Ey???yy[2?2]2??0r?r?

在P点电场线的斜率

Eydy?dxEx整理得

?11??y?2?2?r?r??y(r?2?r?2)???? x?ax?a(x?a)r?2?(x?a)r?2?22r?r?dy2xy2xydx?x2dy?y2dy?a2dy?2??0222dxx?y?ay?xa?xa?d??y??0??y??b?yyyy??2222

所以x2?y2?by?a2?0得证。

例：两个导体相距很远，其中一个导体带电荷Q1，电势为U1，另一个导体带电荷为Q2，

电势为U2，电容为C电容器原来不带电，现在用极细的导体将它与两个导体相连，如图所示，求，电容器充电后的电压。

解：用细导线相连，电容器冲电，并使电容器两极板间电势差为U,则此时电容器带电量为Q=CU，因此导致两导体带电量变为（Q1-CU）.(Q2-CU)

由于孤立导体所带电荷量与导体之比为Q/U,与其带电量多少无关，因此，末态两导体的电势U1',U2'满足U1'?(Q1?CU)U1U,U2'?(Q2?CU)2 Q1Q2两导体间电势差等于电容器的两极板间电势差，即

U?U1'?U2'?(U1?解得U?CU1CUU)?(U2?2U) Q1Q2U1?U2Q1Q2(U1?U2) ??U1U2?Q1Q2?C(U1Q2?U2Q1)?1?C???QQ2??1?由于无限长带电直线上无限多个无限小线小线元与辅助半圆上无限多个无限小弧之具有对应关系，所以ΔL在P点产生的电场强度与ΔL2在P点产生的电场强度完全相同。