所以P点的电场强度用同样带有λ的带电辅助半圆在P点产生的电场强度代替。 下面计算：‘
P点电场强度大小——在P点放一个单位正电荷，它受带电半圆的作用力大小。 ——P点处单位正电荷对带电半圆的作用力大小
——它等于带电半圆上单位长带电量受到P处单位正电荷的作用力
f0??
4??0a21E?f0?2a??1? ?2a??24??0a2??0a1
?E????L1??L,利用图?L1??Lcos? ?2a??24??0r4??0ar1作一个辅助圆（以P点为圆心，a为半径作半个圆（与常电直线相似）利用
?L1?L2?，带入上式子 ra?E?14??0???L2 2a无限长带电直线上任意一段无限小带电线元ΔL在P点产生的电场强度大小和方向正好等于同样带电线密度为λ的一段对应的弧元ΔL2在P点产生的电场强度的大小和方向。
解法：如图，在无限大带电平面上，任取一无限带电元ΔS, ?q???S
?Ez?14??0????S1??S11??S2 ????2224??04??0rra
利用
?S1?S2r2a2此式子告诉我们：在无限大均匀带电平面上，任意一个无限小面元在P点产生的电场强度在Z方向分量正好等于辅助半球面上对应的小球面元ΔS2上电荷在P点产生的电场强度的大小。
再求无限长带电直线周围电势分布
E?r2r1?er（柱坐标）
2??0r1?E?dr?U1?U2?所以U????dr?(lnr2?lnr1)? 2??0r2??0r11r2?lnr 2??01，则P点的电场强度（一定时Z方向）等于
Ep?
???S2??2 ??2?a?224??0a2?04??0a例：如图计算无限长均匀带电直线周围电场强度表达式 解：方法一：利用高斯定理
如图：带电直线为轴取高为ΔL1，半径为r的高斯面
??E?dS?上底?q
?0??E??E?0?dS?0，
下底??E?dS?0
?dS?E?2?r?L
侧面?q???L ?01?E??2??0r
方法二：初等方法
例：平面对称的电场，无限大带电平面，?，求周围电场强度。 解法一：利用高斯定理
如图取一个高斯面
??E?dS?侧面?q
?0??E?dS?0
右端??E?dS?E?S1?E?S
左端??E?0?dS?E?S2?E?S
?q???L ?0?2E?S???S? ?E??02?0例：有三个同心的导体薄球壳，半径分别为a，b，c，其中内、外球壳均接地，而中间球壳是由两个半球壳拼接而成，且其中带有一定电量。
试问：三个球壳半a，b，c之间满足什么关系，才能使中间球壳的两部分不会相互分离
解：设内、外球壳因感应产生带电量分别为Qa,Qc,中间球壳带电量为Q 根据题意可知，内、外球壳接地，电势为零，可以列方程：
Ua?0?kQaQQ?k?kc abcQaQQ?k?kc cccUc?0?k?QaQQQ??a? abcca(b?c)
b(c?a)?Qa?Q?Qc??Q?Qa?QC(a?b)
b(c?a)再求中间球壳受力方向（向外为正）
中间球壳两半球不分离的条件是球壳上受到的合力小于等于零
Eb??kQa 2bEb??kQa?Q b2Eb?11QQa?QQaQ(Eb??Eb?)?[ka?k]?k?k 222222bbb2b带入Qa，整理可得
Eb??kQab?2ac?bc 2b(c?a)bFb?QEbQ2ab?2ac?bc?k2?0（两半球不分离条件）
b(c?a)b用c>a.
条件为ab?2ac?bc?0
?2b?1a?1c
例：在正N变形的顶点上依次分布着电荷，所带电量公差为q的等差数列，即q，2q，3q…Nq,从N边行中心到任意一个顶点的距离均为R，求多边形中心电场强度E的大小
解：（1）先确定N边行带电系统在中心O点的合场强方向 ①
当N为偶数时，图（b）作N1边中垂线XX'(过O点)设想以XX'轴将正N边行对折，
即将右边1,2,3…多点叠加在右边N,N-1，N-2…上，各点电荷量均为（N+1）q，由对称性，各点在O点引起的电场元矢量和的方向垂直于XX'轴，可知原系统在O点的和电场方向必与XX'轴垂直。这是因为对折前后沿XX'方向电场分量为0 当N奇数时，同样做中垂线XX'，设想以XX'为轴将正N边行对折，即将右边1,2,3…
②