?22 m??m2?2?4 （2）由y?f?x??kx??1?k?x?2； 2m?2?0， 得 ?1?k?x2?2x?m?0 ?*? xmm 当k?1时，方程?*?有一解x??，函数y?f?x??kx有一零点x??；
221 当k?1时，方程?*?有二解???4?4m?1?k??0，若m?0，k?1?，
m 函数y?f?x??kx有两个零点x??2?4?4m?1?k?2?1?k??1?1?m?1?k?k?1；若m?0，
k?1?1?2?4?4m?1?k?1?1?m?1?k?，函数y?f?x??kx有两个零点x?； ?m2?1?k?k?1 当k?1时，方程?*?有一解???4?4m?1?k??0, k?1? 函数y?f?x??kx有一零点x?(2010年高考广东卷第21小题)
1, m1 k?1已知曲线Cn：y?nx2，点Pn(xn,yn)(xn?0,yn?0)是曲线Cn上的点（n=1,2,…）. （1）试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程，并求出ln与y轴的交点Qn的坐标；
（2）若原点O(0,0)到ln的距离与线段P（3）设m与nQn的长度之比取得最大值，试求试点Pn的坐标(xn,yn)；
k为两个给定的不同的正整数，xn与yn是满足（2）中条件的点Pn的坐标，
证明：
?n?1s(m?1)xn?(k?1)yn?2ms?ks(s?1,2,…)
解：（1）y??2nx，设切线ln的斜率为k，则k?y?|x?xn?2nxn
∴曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程为：y?yn?2nxn(x?xn) 又∵点Pn在曲线Cn上, ∴yn?nxn
∴曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程为：y?nxn?2nxn(x?xn)即2nxnx?y?nxn?0 令x?0得y??nxn，∴曲线Cn在y轴上的交点Qn的坐标为(0,?nxn) （2）原点O(0,0)到直线ln的距离与线段PnQn的长度之比为：
22222
- 11 - |?nxn|
24n2xn?1xn?(nxn?nxn)22222?nxn1?4n2xn2?11?4nxnnxn?1 4当且仅当
111112,) 时，取等号。此时，yn?nxn? 故点Pn的坐标为(?4nxn即xn?2n4n2n4nnxn（3）证法一：要证
?|n?1s(m?1)xn?(k?1)yn|?|ms?ks|(s?1,2,?) 2s只要证
m?1?k?1?n?112n?s|m?k|(s?1,2,?)
只要证
?2n?1s1n1?s?m?1?k?1m?k1n?n?1(s?1,2,?)
m?1?k?1m?km?k?12ns?n?n??n?n?1，又??1
所以：?n?112n?1?(2?1)?(3?2)???(s?s?1)?s(s?1,2,?)?s?m?1?k?1(s?1,2,?)
(2011年高考广东卷第19小题)
设a?0,讨论函数f(x)?Inx?a(1?a)x2?2(1?a)x的单调性。
22a(1?a)x?2?(1a?x)1解：函数f(x)的定义域为(0,??). f?(x)? ,x
当a?1(?1a?时,方程2a(1-a)x?2(1?a)x?1?0的判别式 ??12a?)①当0?a?2??1?? .3?
1时,??0,f?(x)有两个零点， 3
x1?(a?1)(3a?1)(a?1)(3a?1)11 ??0,x2??2a2a(1?a)2a2a(1?a)且当0?x?x1或x?x2时,f?(x)?0,f(x)在(0,x1)与(x2,??)内为增函数； 当x1?x?x2时,f?(x)?0,f(x)在(x1,x2)内为减函数；
1?a?1时,??0,f?(x)?0,所以f(x)在(0,??)内为增函数； 31③当a?1时,f?(x)??0(x?0),f(x)在(0,??)内为增函数；
x②当
④当a?1时,??0,x1?
(a?1)(3a?1)1??0, 2a2a(1?a)- 12 -
x2?(a?1)(3a?1)1??0,所以f?(x)在定义域内有唯一零点x1， 2a2a(1?a)且当0?x?x1时,f?(x)?0,f(x)在(0,x1)内为增函数；当x?x1时，f?(x)?0,f(x)在(x1,??)内为减函数。
f(x)的单调区间如下表：
0?a?1 31?a?1 3a?1
(0,x1)
（其中x1?(x1,x2)
(x2,??)
(0,??)
(0,x1)
(x1,??)
(a?1)(3a?1)(a?1)(3a?1)11） ?,x2??2a2a(1?a)2a2a(1?a)(2012年高考广东卷第21小题)（本小题满分14分）
2设0?a?1，集合A?x?Rx?0，A?x?R2x?3(1?a)x?6a?0，D?A?B．
????(1) 求集合D（用区间表示）；
(2) 求函数f(x)?2x3?3(1?a)x2?6ax在D内的极值点． 解：（1）
集合B解集：令2x2?3(1?a)x?6a?0
??[?3(1?a)]2?4?2?6a
?3(3a?1)(a?3)
(1):当
1??0时，即：?a?1时，B的解集为：{x|x?R}
3此时D?A?B?A?{x?R|x?0) （2）当??0时，解得a?1,(a?3舍去) 3此时，集合B的二次不等式为：
2x2?4x?2?0，
(x?1)2?0，此时，B的解集为：{x?R,且x?1}
故：D?A?B?(0,1)?(1,??) （3）当??0时，即0?a?此时方程的两个根分别为：
1(a?3舍去） 3x1?
（31?a)?3(1?3a)(3?a)
4- 13 - x2?（31?a)?3(1?3a)(3?a)
413很明显，0?a?时,x2?x1?0 故此时的
D?A?B?(0,x1)?(x2,??）?(0,（31?a)?3(1?3a)(3?a)（31?a)?3(1?3a)(3?a))?(,??)44131?a)?3(1?3a)(3?a)（31?a)?3(1?3a)(3?a)时,D?(0,（)?(,??)
344
综上所述： 当0?a?当a?当 (2)
极值点，即导函数的值为0的点。f?(x)?0
1时，D?A?B?(0,1)?(1,??) 31?a?1时，D?{x?R|x?0) 3f?(x)?6x2?6(1?a)x?6a?0即x2?(1?a)x?a?0
(x?a)(x?1)?0
此时方程的两个根为：
x1?ax2?1
（ⅰ）当0?a?1时,D?(0,x1)?(x2,??) 3（31?a)?3(1?3a)(3?a)（31?a)?3(1?3a)(3?a)即：D?（0，）?(,??)
44
- 14 - x1?a3?a?3(1?3a)(3?a)4将分子做差比较：?（3?a)2?3(1?3a)(3?a) ?8a(3?a)1?0?a?3?8a(3?a)?0?x1?a故当x?a，是一个极值点
x1?1?
（31?a)?3(1?3a)(3?a)(3a?1)?3(1?3a)(3?a) ?1?44分子做差比较：
(3a?1)2?3(1?3a)(3?a)?8(3a?1)?0 所以x1?1
又x2?1?（31?a)?3(1?3a)(3?a)?1
4?3(1?3a)(3?a)?(1?3a)
4分子做差比较法：
3(1?3a)(3?a)?(1?3a)2?8(1?3a)?0，
故x2?1,故此时x?1时的根取不到，
1161) 时，D?A?B?(0,1)?(1,??)，此时，极值点取不到x=1极值点为(,?
3327
（ⅱ） 当a?（ⅲ） 当
1?a?1时，D?{x?R|x?0),极值点为：1 和a 31?a?时, f(x)有1个极值点a,
3总上所述： 当0当
1?a?1时，f(x)有2个极值点分别为1 和a 32(2013年高考广东卷第12小题)若曲线y?ax?lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴，则a? 1 ． 2
- 15 -