(2013年高考广东卷第8小题)
8．设l为直线，?,?是两个不同的平面，下列命题中正确的是（B） A．若l//?，l//?，则?//? B．若l??，l??，则?//? C．若l??，l//?，则?//? D．若???，l//?，则l?? (2013年高考广东卷第18小题)（本小题满分13分）
18．如图4，在边长为1的等边三角形ABC中，D,E分别是AB,AC边上的点，AD?AE，F是BC的中
点，AF与DE交于点G，将?ABF沿AF折起，得到如图5所示的三棱锥A?BCF，其中BC?A2． 2(1) 证明：DE//平面BCF； (2) 证明：CF?平面ABF； (3) 当AD?A2时，求三棱锥F?DEG的体积VF?DEG． 3DGEDGE【解析】（1）在等边三角形ABC中，AD?AE
?ADAE?,在折叠后的三棱锥A?BCF中 DBECFCBF图 4CB也成立，?DE//BC ,?DE?平面BCF，
BC?平面BCF，?DE//平面BCF；
（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF?BC①，BF?CF?图 51. 2? 在三棱锥A?BCF中，BC?2，?BC2?BF2?CF2?CF?BF②
2?BF?CF?F?CF?平面ABF；
（3）由（1）可知GE//CF，结合（2）可得GE?平面DFG.
11111?13?13?VF?DEG?VE?DFG???DG?FG?GF??????????3324 32323?32??
11.平面几何与圆锥曲线 2007 19分 2008 19分 2009 19分 2010 19分 2011 19分 2012 19分 2013 24分 (2007年高考广东卷第11小题)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点
P(2，4)，则该抛物线的方程是
y2?8x ．
- 36 - (2007年高考广东卷第19小题)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C与直线
x2y2y?x相切于坐标原点O，椭圆2??1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
a9（1）求圆C的方程；
（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解:(1) 设圆C的圆心为 (m, n)（m<0,n>0）
n???1?m??2?m依题意可得? 解得?
n?2??m2?n2?22? ?所求的圆的方程为 (x?2)2?(y?2)2?8
x2y2??1 , 右焦点为 F( 4, 0)； (2) 由已知可得 2a?10 ? a?5 ? 椭圆的方程为
259?(x0?2)2?(y0?2)2?8? 设Q(x0,y0)，依题意?(x?4)2?y2?16
?00?解得x0?412412,y0?或x0?0,y0?0（舍去） ?存在点Q(,) 555522(2008年高考广东卷第6小题)经过圆x?2x?y?0的圆心C，且与直线
x?y?0垂直的直线方程是（ C ）
A. x + y + 1 = 0
B. x + y － 1 = 0
C. x － y + 1 = 0
D. x － y － 1 = 0
x2y2(2008年高考广东卷第20小题)设b>0，椭圆方程为2?2?1，抛物线方程为x2?8(y?b)。如图所示，过
2bb点F（0，b + 2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G。已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1。
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； （2）设A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，
试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？ 若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）。
【解析】（1）由x?8(y?b)得y?
212x?b， 8- 37 - 当y?b?2得x??4，?G点的坐标为(4,b?2)，y'?1x，y'|x?4?1， 4过点G的切线方程为y?(b?2)?x?4即y?x?b?2，
令y?0得x?2?b，?F1点的坐标为(2?b,0)，由椭圆方程得F1点的坐标为(b,0)，
x2?2?b?b即b?1，即椭圆和抛物线的方程分别为?y2?1和x2?8(y?1)；
2（2）?过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,?以?PAB为直角的Rt?ABP只有一个， 同理? 以?PBA为直角的Rt?ABP只有一个。
12若以?APB为直角，设P点坐标为(x,x?1)，A、B两点的坐标分别为(?2,0)和(2,0)，
8????????11452PA?PB?x2?2?(x2?1)2?x?x?1?0。
86442关于x的二次方程有一大于零的解，?x有两解，即以?APB为直角的Rt?ABP有两个， 因此抛物线上存在四个点使得?ABP为直角三角形。
(2009年高考广东卷第13小题)以点（2，?1）为圆心且与直线x?y?6相切的圆的方程是 . 【答案】(x?2)?(y?1)?2225 2【解析】将直线x?y?6化为x?y?6?0,圆的半径r?|2?1?6|5?,所以圆的方程为
1?12(x?2)2?(y?1)2?25 2(2009年高考广东卷第19小题)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为
3,两个焦点分别为F1和2F2,椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck:x2?y2?2kx?4y?21?0(k?R)的圆心为点Ak.
(1)求椭圆G的方程 (2)求?AkF1F2的面积 (3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由.
x2y2【解析】（1）设椭圆G的方程为：2?2?1 （a?b?0）半焦距为c;
ab?2a?12??a?6?222?b?a?c?36?27?9 则?c , 解得 , ?3??c?33??2?ax2y2??1. 所求椭圆G的方程为：
369(2 )点AK的坐标为??K,2? SVAKF1F2?11?F1F2?2??63?2?63 2222（3）若k?0，由6?0?12k?0?21?5?12kf0可知点（6，0）在圆Ck外，
22 若k?0，由(?6)?0?12k?0?21?5?12kf0可知点（-6，0）在圆Ck外；
- 38 - ?不论K为何值圆Ck都不能包围椭圆G.
(2010年高考广东卷第6小题)若圆心在x轴上、半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x?2y?0相切，则圆O的方程是 D
A．(x?5)2?y2?5 B．(x?5)2?y2?5 C．(x?5)2?y2?5 D．(x?5)2?y2?5
(2010年高考广东卷第7小题)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 B A．
3142 B． C． D．
5555(2011年高考广东卷第8小题)设圆C与圆x2?(y?3)2?1外切，与直线y?0相切，则圆C的圆心轨迹为
A A．抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D. 圆
(2011年高考广东卷第21小题) 在平面直角坐标系xOy中，直线l:x??2交x轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上的一点，且满足?MPO??AOP.
（1） 当点P在l上与动时，求点M的轨迹E的方程；
（2） 已知T(1,?1),设H是E上动点，求HO?HT的最小值，并给出此时点H的坐标；
（3） 过点T(1,?1)且不平行于y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l1的斜率k的取
值范围。
21．（本小题满分14分）
解：（1）如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，
??MPQ??AOP,?MP?l,且|MO|?|MP|.
222因此x?y?|x?2|,即y?4(x?1)(x??1).
①
另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。
?MQ为线段OP的垂直平分线， ??MPQ??MOQ.
又??MPQ??AOP,??MOQ??AOP. 因此M在x轴上，此时，记M的坐标为(x,0).
- 39 -
为分析M(x,0)中x的变化范围，设P(?2,a)为l上任意点(a?R). 由|MO|?|MP| （即|x|?故M(x,0)的轨迹方程为
(x?2)2?a2）得， x??1?12a??1. 4
②
y?0,x??1
综合①和②得，点M轨迹E的方程为 y2??x,??1,?4(x?1)
x??1.?0,（2）由（1）知，轨迹E的方程由下面E1和E2两部分组成（见图3）：
E1:y2?4(x?1)(x??1)； E2:y?0,x??1.
当H?E1时，过Ｔ作垂直于l的直线，垂足为T?，交E1于
?3?D??,?1?。 ?4?
再过H作垂直于l的直线，交l于H?.因此，|HO|?|HH?|（抛物
|HO|?|HT|?|HH?|?|HT|?|TT?|?3（该等号线的性质）。?仅当H?与T?重合（或H与D重合）时取得）。
当H?E2时，则|HO|?|HT|?|BO|?|BT|?1?5?3. 综合可得，|HO|+|HT|的最小值为3，且此时点H的坐标为??
?3?,?1?. ?4? （3）由图3知，直线l1的斜率k不可能为零。 设l1:y?1?k(x?1)(k?0).
故x?14?4?(y?1)?1,代入E1的方程得：y2?y???8??0. kk?k?2
16?4??4?因判别式??2?4??8????2??28?0.所以l1与E中的E1有且仅有两个不同的交点。
k?k??k?又由E2和l1的方程可知，若l1与E2有交点， 则此交点的坐标为
k?11?k?1??k?1?,0?，从而l1表三个不同的交点。 有唯一交点,0,且??1.即当??k?0时,l与E12???kkk2????
因此，直线l1斜率k的取值范围是(??,?]?(0,??).
2212(2012年高考广东卷第8小题) 在平面直角坐标系xOy中，直线3x?4y?5?0与圆x?y?4相交 于A、B两点，则弦AB的长等于 (B)
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