第九节 直线与圆锥曲线的位置关系
【最新考纲】 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法. 2.理解数形结合的思想．3.了解圆锥曲线的简单应用.
1．直线与圆锥曲线的位置关系
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
(1)当a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ①Δ>0?直线与圆锥曲线相交； ②Δ＝0?直线与圆锥曲线相切； ③Δ<0?直线与圆锥曲线相离．
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．
①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行； ②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2．圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋k2Δ
. |a|
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1＋
1
|y－y1|＝k22
1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误
的打“×”)
(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．( )
(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．( )
(3)若抛物线上存在关于直线l对称的两点，则l与抛物线有两个交点．( )
(4)过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
x2y2
2．直线y＝k(x－1)＋1与椭圆＋＝1的位置关系是( )
94A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 解析：直线y＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
答案：A
1
3．(2015·全国Ⅱ卷)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，2E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝( )
A．3 B．6 C．9 D．12
解析：抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，∴椭圆中c＝2， c1
又＝，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12， a2x2y2
从而椭圆方程为＋＝1.
1612
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∵抛物线y2＝8x的准线为x＝－2， ∴xA＝xB＝－2，
将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3， 由图象可知|AB|＝2|yA|＝6. 答案：B
4．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，则弦AB的长为________．
解析：直线l的方程为y＝3x＋1，
??y＝3x＋1，由?2得y2－14y＋1＝0. ??x＝4y，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14， ∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16. 答案：16
5．已知一条过点P(2，1)的直线与抛物线y2＝2x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为________．
解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
22则有y1＝2x1，y2＝2x2，
两式相减得的斜率为1，
y1－y2222
y1－y2＝2(x1－x2)，即＝＝1，直线
x1－x2y1＋y2
AB
直线AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0. 答案：x－y－1＝0
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一条规律
“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘 ”．
?两种思想
直线与圆锥曲线的位置关系，弦长计算，定点、最值问题很好地渗透函数与方程思想和数形结合思想，是考查数学思想方法的热点题型．
?两种技巧
1．涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)．
2．涉及弦中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．
?三点注意
1．重视圆锥曲线定义、平面几何性质的应用．
2．“点差法”具有不等价性，要考虑判别式“Δ”是否为正数． 3．涉及定点、定值问题，切忌“特殊代替一般”，盲目简单化．
一、选择题
1．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )
A．有且只有一条 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有且只有四条
解析：设该抛物线焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|＝|AF|
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pp
＋|FB|＝xA＋＋xB＋＝xA＋xB＋1＝3>2p＝2.所以符合条件的直线
22有且只有两条．
答案：B
2
y
2．(2015·四川卷)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的
3
直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝( )
43A. B．23 C．6 D．43
3y2
解析：由题意知，双曲线x－＝1的渐近线方程为y＝±3x，
3
2
将x＝c＝2代入得y＝±23，即A，B两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB|＝43.
答案：D
3．已知直线y＝22(x－1)与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，→·MB→＝0，则m＝( ) 点M(－1，m)，若MA
21
A.2 B. C. D．0
22
??y＝22（x－1），1
解析：由?2得A(2，22)，B(，－2)，
2?y＝4x，?
→·MB→＝0， 又∵M(－1，m)且MA
∴2m2－22m＋1＝0，解得m＝答案：B
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)与直线ax＋y－4＝0相交于A，B两点，其中A点的坐标是(1，2)．如果抛物线的焦点为F，那么|FA|＋|FB|等于( )
A．5 B．6 C．35 D．7
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2
. 2