22xy?＋＝1由?43得，(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，
?y＝kx＋m
由Δ＝(8mk)2－16(3＋4k2)(m2－3)>0得m2<3＋4k2. 4（m2－3）8mk因为x1＋x2＝－，x1x2＝，
3＋4k23＋4k2所以y1y2＝(kx1＋m)·(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2 3（m2－4k2）
＝.
3＋4k2b233
由kOA·kOB＝－2＝－得y1y2＝－x1x2，
a44
2
3（m2－4k2）34（m－3）22即＝－·，化简得2m－4k＝3，满
43＋4k23＋4k2足Δ>0.
由弦长公式得|AB|＝1＋k2|x1－x2| ＝1＋k2
48（4k2－m2＋3）
＝
（3＋4k2）224（1＋k2）
.
3＋4k2|m|
又点O到直线l：y＝kx＋m的距离d＝2， 1＋k11所以S△AOB＝·d·|AB|＝
221
＝ 2
24m2＝ 3＋4k23×2m2＝
3＋4k224（1＋k2）|m|
· 3＋4k21＋k23×（3＋4k2）
＝3，
3＋4k2故△AOB的面积为定值3.
(1)求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，
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再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
(2)定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．
x2y22
【变式训练】 设椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为e＝，ab2
?6?
且过点?－1，－?.
2??
(1)求椭圆E的方程．
(2)设椭圆E的左顶点是A，若直线l：x－my－t＝0与椭圆E相交于不同的两点M，N(M，N与A均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标．
222
a－bc12
解：(1)由e＝2＝2＝，可得a2＝2b2，
aa2
x2y2
椭圆方程为2＋2＝1，
2bb
?－6?
?可得b2＝2，a2＝4， 代入点?－1，
2??
x2y2
故椭圆E的方程为＋＝1.
42(2)由x－my－t＝0得x＝my＋t，
把它代入E的方程得：(m2＋2)y2＋2mty＋t2－4＝0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)得： t2－42mt
y1＋y2＝－2，y1y2＝2，
m＋2m＋2
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4t
x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2t＝2，
m＋2x1x2＝(my1＋t)(my2＋t)
222t－4m
＝m2y1y2＋tm(y1＋y2)＋t2＝2.
m＋2
因为以MN为直径的圆过点A，
→·AN→＝(x＋2，y)·所以AM⊥AN，所以AM11(x2＋2，y2) ＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2 2t2－4m2t2－44t
＝2＋2×2＋4＋2
m＋2m＋2m＋23t2＋8t＋4（t＋2）（3t＋2）＝＝＝0.
m2＋2m2＋2因为M，N与A均不重合，所以t≠－2，
?2?22所以t＝－，直线l的方程是x＝my－，直线l过定点T?－3，0?，
33??
由于点T在椭圆内部，故满足判别式大于0，
?2?
所以直线l过定点T?－3，0?.
?
?
热点3 圆锥曲线中的最值、范围问题
圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．
x22
(2015·浙江卷)已知椭圆＋y＝1上两个不同的点
2
1
A，B关于直线y＝mx＋对称．
2
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(1)求实数m的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)． 解：(1)由题意知m≠0，
1
可设直线AB的方程为y＝－x＋b.
m
2x2?＋y＝1，?2
由?消去y，得
1
??y＝－mx＋b
?11?2b
?＋2?x2－x＋b2－1＝0.
m?2m?
1x2
因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，
m24
所以Δ＝－2b2＋2＋2>0.①
m
?2mbmb?1
，??将线段AB中点Mm2＋2m2＋2代入直线方程y＝mx＋，解2??
2
m2＋2
得b＝－.②
2m2由①②得m<－
66或m>. 33
??1?66????(2)令t＝∈－，0∪0，?， m?22???
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则|AB|＝t2＋1·
3
－2t4＋2t2＋
2，
12t＋
2
2
1t＋
2
且O到直线AB的距离为d＝2.
t＋1设△AOB的面积为S(t)，所以 11S(t)＝|AB|·d＝
22
2
?21?22
??－2t－2＋2≤，
2??
1
当且仅当t＝时，等号成立．
2故△AOB面积的最大值为
圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值．
y2x2
【变式训练】 已知椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)与抛物线C2：
abx2＝2py(p>0)有一个公共焦点，抛物线C2的准线l与椭圆C1有一坐标是(2，－2)的交点．
(1)求椭圆C1与抛物线C2的方程；
(2)若点P是直线l上的动点，过点P作抛物线的两条切线，切→·OF→的点分别为A，B，直线AB与椭圆C1分别交于点E，F，求OE取值范围．
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2
. 2