5．已知曲线C的方程为x2＋y2＋2x＋1＋x2＋y2－2x＋1＝4，经过点(－1，0)作斜率为k的直线l，l与曲线C交于A、B两点，l与直线x＝－4交于点D，O是坐标原点．
→＋OD→＝2OB→，求k的值； (1)若OA
(2)是否存在实数k，使△AOB为锐角三角形？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：(1)由x2＋y2＋2x＋1＋x2＋y2－2x＋1＝4 得（x＋1）2＋y2＋（x－1）2＋y2＝4>2.
∴曲线C是以F1(－1，0)、F2(1，0)为焦点，4为长轴长的椭圆． x2y2
∴曲线C的方程为＋＝1，即3x2＋4y2＝12.
43
∵直线l经过点(－1，0)，斜率为k，∴直线l的方程为y＝k(x＋1)．
∵直线l与直线x＝－4交于点D，∴D(－4，－3k)． 设A(x1，kx1＋k)、B(x2，kx2＋k)．
22??3x＋4y＝12由?得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0， ??y＝k（x＋1）
－8k24k2－12∴x1＋x2＝，x1x2＝.
3＋4k23＋4k2→＋OD→＝2OB→得2x－x＝－4. 由OA21
－8k24＋8k24
由2x2－x1＝－4和x1＋x2＝得x1＝，x＝－.
3＋4k23＋4k223＋4k24k2－12
∵x1x2＝，
3＋4k2?4＋8k2?4k2－12442
∴2?＝2×?－2，化简得4k－k－5＝0，解得3＋4k?3＋4k?3＋4k
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5
k＝或k2＝－1<0(舍去)．
4
2
55∴k2＝，解得k＝±.
42
(2)由(1)知，A(x1，kx1＋k)、B(x2，kx2＋k)， －8k24k2－12x1＋x2＝，x1x2＝.
3＋4k23＋4k2→＝(x，kx＋k)，OB→＝(x，kx＋k)， ∵OA1122→·OB→＝xx＋(kx＋k)(kx＋k) OA1212
2
－5k－12222
＝(1＋k)x1x2＋k(x1＋x2)＋k＝<0，
3＋4k2
π
∴∠AOB>.
2
∴不存在实数k，使△AOB为锐角三角形．
6．过x轴上动点A(a，0)引抛物线y＝x2＋1的两条切线AP，AQ.切线斜率分别为k1和k2，切点分别为P，Q.
(1)求证：k1·k2为定值，并且直线PQ过定点． S△APQ→·AQ→的值． (2)记S为面积，当最小时，求AP→||PQ
(1)证明：设过A点的直线为：y＝k(x－a)，与抛物线联立得
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??y＝k（x－a），2?得x－kx＋ka＋1＝0， 2??y＝x＋1，
Δ＝k2－4ak－4＝0，
所以k1＋k2＝4a，k1·k2＝－4为定值． 抛物线方程y＝x2＋1，求异得y′＝2x，
设切点P，Q的坐标分别为(xP，yP)，(xQ，yQ)，k1＝2xP，k2＝2xQ，所以xP＋xQ＝2a，xP·xQ＝－1.
yP－yQ
直线PQ的方程：y－yP＝(x－xP)，
xP－xQ
2
由yP＝xP＋1，yQ＝x2Q＋1，
得到y＝(xP＋xQ)x－xPxQ＋1，整理可得y＝2xa＋2， 所以直线PQ过定点(0，2)． (2)解：设A到PQ的距离为d. dS△APQ＝|PQ|×，
2
S△APQd2a2＋2a2＋1所以＝＝＝， 222→24a＋14a＋1|PQ|设t＝4a2＋1≥1，
t2＋31?3?3
??t＋所以＝＝≥， t4t42??→|PQ|
△APQ
2
当且仅当t＝3时取等号，即a＝±.
2→·AQ→＝(x－a，y)·因为APPP(xQ－a，yQ)
＝xPxQ－a(xP＋xQ)＋a2＋yPyQ，yPyQ＝(2xPa＋2)(2xQa＋2)＝4a2xPxQ＋4＋4a(xP＋xQ)＝4a2＋4，
→·AQ→＝3a2＋3＝9. 所以AP
2
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