解析：把点A的坐标(1，2)分别代入抛物线y2＝2px与直线方程ax＋y－4＝0得p＝2，a＝2，
2??y＝4x，由?消去y得x2－5x＋4＝0， ??2x＋y－4＝0，
则xA＋xB＝5.
由抛物线定义得|FA|＋|FB|＝xA＋xB＋p＝7. 答案：D
x2y2
5．已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F
ab的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
x2y2x2y2
A.＋＝1 B.＋＝1 1892718x2y2x2y2
C.＋＝1 D.＋＝1 36274536解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
22xy11?2＋2＝1， ①?ab则?2
x2y22?2＋2＝1. ②?ab
（x1＋x2）（x1－x2）（y1－y2）（y1＋y2）①－②得＝－.
a2b2y1－y2b2（x1＋x2）
∴＝－2. x1－x2a（y1＋y2）∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2， b2∴kAB＝2.
a
0－（－1）1
又kAB＝＝，
23－1
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b21
∴2＝，∴a2＝2b2. a2∴c2＝a2－b2＝b2＝9， ∴b＝c＝3，a＝32， x2y2
∴椭圆的方程为＋＝1.
189答案：A 二、填空题
x2y2
6．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值范
5m围是________．
m>0，??
解析：直线y＝kx＋1过定点(0，1)，由题意知?m≠5，
??m≥1，∴m≥1，且m≠5. 答案：m≥1，且m≠5
x2y2
7．(2015·山东卷)过双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点作
ab一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．
b
解析：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又
ab
直线l过右焦点F(c，0)，则直线l的方程为y＝(x－c)．
a
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4a2y2
因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得2－2＝1，
ab化简得y＝－3b或y＝3b(点P在x轴下方，故舍去)． b
故点P的坐标为(2a，－3b)，代入直线方程得－3b＝(2a－
ac)，
c
化简可得离心率e＝＝2＋3.
a答案：2＋3
8．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
?3?
?解析：由y＝3x知焦点F4，0?， ??
2
3?3?
∴直线AB的方程为y＝?x－4?.
3??
代入y2＝3x，消去x，得4y2－123y－9＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 9
则y1＋y2＝33，y1y2＝－.
41
因此S△OAB＝|OF|·|y1－y2|
2
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1392＝×（y1＋y2）－4y1y2＝. 2449答案： 4
9．(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2
＝1右支上的一个动点，若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．
解析：由双曲线的性质知
所求的c的最大值就是双曲线的一条渐近线x－y＝0与直线x－y＋1＝0的距离，此距离d＝
2答案： 2
三、解答题
10．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y5
轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|. 4
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若|AB|＝8，求线段AB的垂直平分线l′的方程．
8
解：(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px得x0＝.
p8pp8
所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.
p22p
p858
由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2.
2p4p所以C的方程为y2＝4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋
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12＝. 22
1(m≠0)．
代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. 故AB的中点为D(2m2＋1，2m)， |AB|＝m2＋1|y1－y2|＝4(m2＋1)． 由于|AB|＝8，
∴4(m2＋1)＝8，则m＝±1.
①当m＝1时，D(3，2)，l的方程为x＝y＋1， ∴l′的斜率k＝－1.
则直线l′的方程为y－2＝－(x－3)，即x＋y－5＝0. ②当m＝－1时，D(3，－2)，l的方程为x＝－y＋1， ∴l′的斜率k＝1.
则直线l′的方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0. 综上知直线l′的方程为x＋y－5＝0或x－y－5＝0.[]
x2y211．已知椭圆a2＋1
b2＝1(a>b>0)经过点(0，3)，离心率为2，左右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．
(1)求椭圆的方程；
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