1
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为
2|AB|53
直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．
|CD|4
a＝2，???c1?
解：(1)由题设知?＝，解得?b＝3，
a2
???b＝a－c，?c＝1，
2
2
2
b＝3，
x2y2
∴椭圆的方程为＋＝1.
43
(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1， ∴圆心到直线l的距离d＝由d<1得|m|<
5.(*) 2
22|m|
， 5
∴|CD|＝21－d＝2
4221－m＝
55
5－4m2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
1?y＝－x＋m，?2
由?22得x2－mx＋m2－3＝0，
xy??4＋3＝1由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3. ∴|AB|＝
??1?2?2
?1＋?－??[m－4（m2－3）]
?2???
15
＝4－m2.
2|AB|53由＝得 |CD|4
4－m2＝1，
5－4m23
解得m＝±，满足(*)．
3
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1313
∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.
2323
平面解析几何中的高考热点题
型
圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现．
热点一 圆锥曲线的标准方程与性质
圆锥曲线的标准方程在新课标高考中占有十分重要的地位．一般地，求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小题，最常用的方法是定义法与待定系数法．离心率是高考对圆锥曲线考查的又一重点，涉及a，b，c三者之间的关系．另外抛物线的准线，双曲线的渐近线也是命题的热点．
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x2y2
(2015·重庆卷)如图，椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、
ab
右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.
(1)若|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.
解：(1)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a＝2.
设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2， 因此2c＝|F1F2|＝|PF1|2＋|PF2|2 ＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23. 即c＝3，从而b＝a2－c2＝1， x2
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
4
(2)连结F1Q，如图，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，
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|QF1|＋|QF2|＝2a，
又|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|＝(2a－|PF1|)＋(2a－|QF1|) 可得|QF1|＝4a－2|PF1| ① 又因为PF1⊥PQ且|PF1|＝|PQ| 知|QF1|＝2|PF1| ② 由①②可得|PF1|＝(4－22)a， 从而|PF2|＝2a－|PF1|＝(22－2)a 由PF1⊥PF2知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2 即(4－22)2a2＋(22－2)2a2＝4c2
2c
可得(9－62)a2＝c2，即2＝9－62，
a
c
因此e＝＝9－62＝6－3.
a
本题主要考查椭圆的定义、方程和离心率．用定义法求圆锥曲线的方程是常用的方法，同时注意数形结合思想的应用．
【变式训练】 已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为2
，它的一个顶点为抛物线x2＝4y的焦点． 2
(1)求椭圆方程；
(2)若直线y＝x－1与抛物线相切于点A，求以A为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程．
解：(1)椭圆中心在原点，焦点在x轴上． x2y2
设椭圆的方程为2＋2＝1(a>b>0)，
ab
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因为抛物线x2＝4y的焦点为(0，1)， 所以b＝1.
c2
由离心率e＝＝，a2＝b2＋c2＝1＋c2，
a2x22
从而得a＝2，∴椭圆的标准方程为＋y＝1.
2
2???x＝4y，?x＝2，(2)由?解得?所以点A(2，1)．
?y＝x－1，?y＝1，??
因为抛物线的准线方程为y＝－1， 所以圆的半径r＝1－(－1)＝2， 所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4. 热点2 圆锥曲线中的定点、定值问题
定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．
x2y21
已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，一ab2
个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
b2
(2)设O为坐标原点，kOA·kOB＝－2，判断△AOB的面积是否
a为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．
c1
解：由题意得c＝1，又e＝＝，所以a＝2，从而b2＝a2－c2
a2＝3.
x2y2
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
43(2)设点A(x1， y1)，B(x2，y2)
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