的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B)，直线PQ与y轴交于点M，|PM|＝λ|MQ|.
①求λ的值；
75
②若|PM|sin∠BQP＝，求椭圆的方程．
9
c5
解：(1)设F(－c，0)．由已知离心率＝及a2＝b2＋c2，可得a
a5＝5c，b＝2c.
又因为B(0，b)，F(－c，0)，
b－02c
所以直线BF的斜率k＝＝＝2.
0－（－c）c(2)设点P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，M(xM，yM)．
x2y2
①由(1)可得椭圆的方程为2＋2＝1，直线BF的方程为y＝2x
5c4c＋2c.
将直线方程与椭圆方程联立，消去y， 5c
整理得3x2＋5cx＝0，解得xP＝－.
3
1
因为BQ⊥BP，所以直线BQ的方程为y＝－x＋2c，与椭圆方
2程联立，消去y，整理得21x2－40cx＝0，
解得xQ＝
40c. 21
|xM－xP||xP|7|PM|
又因为λ＝及xM＝0，可得λ＝＝＝.
|MQ||xQ－xM||xQ|8②由①有所以
|PM|7＝， |MQ|8
|PM|77
＝＝，
|PM|＋|MQ|7＋815
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15
即|PQ|＝|PM|.
7又因为|PM|sin∠BQP＝
75
， 9
1555
所以|BP|＝|PQ|sin∠BQP＝|PM|sin∠BQP＝.
734
又因为yP＝2xP＋2c＝－c，
3所以|BP|＝
5c4c55（0＋）2＋（2c＋）2＝c，
333
5555
因此c＝，得c＝1.
33x2y2
所以，椭圆的方程为＋＝1.
542．已知椭圆C的方程为： x2＋2y2＝4. (1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为坐标原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
x2y2
解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1，所以a2＝4，
42b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.
因此a＝2，c＝2.
c2
故椭圆C的离心率e＝＝.
a2
(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0. →·OB→＝0， 因为OA⊥OB，则OA所以tx0＋2y0＝0，解得t＝－
2y0. x0
2222
又x20＋2y0＝4，所以|AB|＝(x0－t)＋(y0－2)
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4－x02（4－x0）?2y0?4y202222
??x＋＝0x＋(y0－2)＝x0＋y0＋2＋4＝x0＋＋2x02x0?0?x280＋4＝＋2＋4(0 x28022 因为＋2≥4(0 8. 故线段AB长度的最小值为22. 3．如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0，2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)． 22 (1)证明：动点D在定直线上； (2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值． (1)证明：依题意可设AB方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2 ＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8. y1直线AO的方程为y＝x；BD的方程为x＝x2. x1 第 28 页 共 34 页 ?x＝x2， 解得交点D的坐标为?y1x2 ?y＝x1， 2 注意到x1x2＝－8及x1＝4y1， y1x1x2－8y1则有y＝2＝＝－2. x14y1 因此D点在定直线y＝－2上(x≠0)． (2)解：依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)， 即x2－4ax－4b＝0. 由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0，化简整理得b＝－a2. 故切线l的方程可写为y＝ax－a2. 分别令y＝2，y＝－2得N1，N2的坐标为 ?2??2? N1?a＋a，2?，N2?－a＋a，－2?， ? ? ? ? ?2?2?2?22 则|MN2|－|MN1|＝?a－a?＋4－?a＋a?＝8， ???? 2 2 即|MN2|2－|MN1|2为定值8. 4．如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上． 第 29 页 共 34 页 (1)求抛物线E的方程； (2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，以PQ为直径的圆是否恒过y轴上某定点M，若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)依题意得|OB|＝83，根据对称性知∠BOy＝30°.设点B(x，y)，则x＝83×sin 30°＝43， y＝83×cos 30°＝12， 又B(43，12)在抛物线上， 所以(43)2＝2p×12，解得p＝2， 抛物线E的方程为x2＝4y. 11 (2)设点P(x0，y0)(x0≠0)，因为y＝x2，y′＝x， 421 直线l的方程为y－y0＝x0(x－x0)， 2112 即y＝x0x－x0. 24 211x2?x＝0－4?y＝x0x－x024得?2x0， 由? ?y＝－1 ?y＝－1 ?x2?0－4?所以Q，－1?. ?2x0? 设满足条件的定点M存在，坐标为M(0，y1)， 2 ??x0－4→→所以MP＝(x0，y0－y1)，MQ＝?，－1－y1?， ?2x0? 2 x120－4→·→＝0，又MPMQ所以－y0－y0y1＋y1＋y2＝0，又y＝x(x102400 ≠0)，联立解得y1＝1，故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0，1)． 第 30 页 共 34 页