第一章 绪论
1.1选题的目的及意义
混沌学研究从早期探索到重大突破，经以至到本世纪70年代以后形成世界性研究热潮，其涉及的领域包括数学、物理学、生物学、气象学、工程学和经济学等众多学科，其研究的成果，不只是增添了一个新的现代科学学科分支，而且几乎渗透和影响着现代科学的整个学科体系。混沌学的研究是现代科学发展的新篇章。许多学者把混沌理论称为继量子力学和相对论以后二十世纪最有影响的科学理论之一。非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础科学，具有广阔的应用的前景。
在许多领域，混沌己经被发现是有用的或有着巨大的应用前景。因此，在一些混沌显得非常重要且有用的领域，有目的的产生或强化混沌现象己经成为一个关键性的研究课题。对任意给定的一个有限维的系统或过程，它可以是线性的或非线性的、时变的或时不变的、非混沌的甚至稳定的，所关心的问题是我们能否通过设计一个简单可行的控制器，如参数调整器或状态反馈控制器，来使受控的系统产生混沌现象。这就是我们通常所说的混沌反向控制，或简称混沌反控制。
目前，混沌动力学在理论深度和应用广度两个方面都在不断取得重要突破，一个重要进展是上个世纪90年代以来，混沌控制与同步概念的提出，由此在国内外引发了对混沌控制与同步的理论和方法进行研究的热潮。这一研究课题不仅引起了物理学家，也引起了数学、控制论、电路与信息处理等有关领域的科学工作者的广泛关注，成为当前非线性科学研究中的前沿课题和学术热点。
虽然目前在混沌同步、控制及应用方面取得了巨大的成果，但仍有许多问题还没有解决。如在超混沌系统参数辨识中，虽然提出了多种方法，但是难于同时满足辨识精度高、控制器简单、需要时间序列少等要求，有必要进行改进;混沌同步理论需要进一步完善，目前关于全同步、局部同步、相同步、滞后同步以及单向祸合的广义同步人们都已经作了大量的研究，但是对于双向祸合的混沌系统，由于两个系统相互作用、相互影响其动力学行为，每个系统的动力学行为都不再是只由自己动力学方程控制，因而它们动力学行为极其复杂，目前仍缺乏对双向祸合混沌系统的广义同步研究，为了混沌理论的完整性，对其研究是必要的。
本文在汲取前人研究成果的基础上，提出了以一定的藕合比例系数，实现主动系统和被动系统的同步控制的方法，并在计算机上进行仿真，最后通过电子电路实现了针对Lorenz系统的P同步。
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1.2混沌学 1.2.1混沌的发展
混沌概念最为深刻的演化与进展，发生在研究宏观世界的动力学中。根据牛顿理论，本世纪60年代之前，人们仍普通认为，确定性系统的行为是完全确定的、可以预言的。不确定性行为只会产生在随机系统里。然而，近30年来的研究成果表明，绝大多数确定性系统都会发生奇怪的、复杂的、随机的行为。随着对这类现象的深入了解，人们与古代混沌概念相联系，就把确定性系统的这类复杂随机行为称为混沌。可从两方面来理解混沌特性：一是：确定性系统的内在随机性现象；二是：对初始条件的敏感性。
最早发现可能存在混沌现象的是法国数学家Poincare，他在研究三体问题时指出:在一定范围内其解是随机的[例，实际上它是保守系统中的混沌，但是在当时并没有引起人们多大的注意。直到1954年，前苏联概率论大师Kolmogoror提出了一个环面不变定理(即KAM定理)，这一定理后来被Arnold和Mose证明，使得人们进一步认识扰动对系统产生的影响。
1963年，著名大气学家Lorenz研究了下表面受热，上表面冷却的薄层流体，通过对流方程进行模式截断，只保留一个速度模和两个温度模，给出了著名的Lorenz方程：
dx/dt=-σ(x-y)， dy/dt=rx-y-xz， dz/dt=xy-bz
Lorenz方程右端不显含时间，有三个参数Q(常数Prandtl )，P(瑞利常数)和b(反映速度阻尼常数)，Xl代表对流的翻动速率，x2代表上流和下流的温度差，x3代表垂直方向温度梯度，该方程所描绘的图形就是蝴蝶状的双螺旋线，若参数取b=10,b= 28,b=8/3，系统处于混沌状态，各个变量之间相平面投影图如下图1.1所示。
图1.1 Lorenz系统混沌吸引子相图
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这便是在耗散系统中，一个确定的方程却能导出混沌解的第一个实例，人类从此揭开了对混沌现象的深入研究的序幕。
20世纪80年代以来，人们着重研究系统如何从有序进入混沌及其混沌的性质和特点，借助于(单)多标度分形理论和符号动力学，还进一步对混沌结构进行了研究和理论上的总结。控制混沌的研究兴起于1989年，与此同时有三种不同的控制方案在这一年问世。其中，第一种方案是共振控制，Hubler和Luscher通过引入一类无反馈外激励型控制使系统呈现事先指定的周期形态;第二种方案是Bloch和Marsden建立一种有反馈的参数修改机制控制同宿轨道;第三种方案是系统理论的应用，Hubler和Fowler分别利用统计性预测和基于Kalman滤波的状态估计器等随机控制方法控制混沌系统并取得了一定的效果。真正引起对控制混沌较广泛重视的是1990年Ott, Grebogi和Yorke在Phys. Rev. L ett.上发表的一篇短文，其中提出了利用参数反馈镇定构成混沌吸引子的任意不稳定周期性轨道的方法，即后来所被广泛应用的OGY方法。这种控制方法与实验有密切联系，因而很快便应用于实验室的实验中。同年该校的Ditto,Rouseo,Span。从实验上验证了OGY方法的有效性。随后，国际上混沌控制方法及其实验的研究得到了迅速的发展，混沌同步也获得进一步的拓广，大大推进了在应用方面的研究。
进入90年代，基于混沌运动是存在于自然界中的一种普遍运动形式，被很多人所认识，混沌学更是与其他学科相互渗透、相互促进，无论是在生物学、心理学、物理学、生理学、数学、信息科学、电子学，还是气象学、经济学、天文学，甚至在音乐、艺术等领域，混沌都得到了前所未有的应用。
1.2.2混沌的定义
“混沌”一词，从古自今，毫不陌生。混沌是一个物理概念，它是非线性动力学系统表现出来的一种复杂现象。早在十九世纪末，法国数学家庞加莱在研究太阳系三体运动时就发现了混沌的现象，而最具有说服力和影响力的当属本世纪60年代初，美国气象学家洛伦兹提出的Lorenz方程，借助于计算机技术使人们对混沌有了更加深刻的理解。近年来，随着人们对非线性混沌理论研究的不断深入，混沌的应用研究已成为非线性科学领域的热点问题之一。但是至今为止，学术界对“混沌”尚缺乏统一的普遍接受的一般定义，但是有以下几种从不同角度出发的混沌定义，较好地概括了混沌的定性行为。
第一种混沌定义是，基于对初值的敏感依赖性，即对于一个非线性系统，如果行为的初始条件产生一个微小的变化，那么后果可能与之前的状态差别很大，甚至完全相反，产生所谓的“蝴蝶效应”现象。气象学家洛伦兹给它做了一个形象的比喻成:一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可
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能两周之后在美国德克萨斯引起一场龙卷风。其原因在于:蝴蝶翅膀的运动，导致其身边的空气系统发生变化，并引起微弱气流的产生，而微弱气流的产生又会引起它四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起连锁反映，最终导致其他系统的极大变化。
第二种混沌定义是基于Li-Yorke定理，是从数学上进行了严格的定义。 在1975年，李天岩和约克在《美国数学月刊》上发表的一篇论文《周期3意味着混沌》，第一次引入“混沌”概念，并给出了混沌的一种数学定义，即现在所谓的Li一Yorke定义:
对于闭区间I上的连续自映射f (x)，如果满足下列三个条件时，称它一定会出现混沌现象:
(I)f有任意周期的周期点；
(II)闭区间I存在不可数非周期不变子集S，如果存在一个周期3的周期点时，就一定存在任何整数的周期点，即一定出现混沌现象。用李天岩的话说，只要系统中有周期3就会“乱七八糟”，即什么周期点都可能存在。因此，发现在任何系统中是否存在3周期成为判断混沌的至关重要的准则。这种定量的定义混沌是真对集合提出的。
第三种混沌定义是:定义混沌的方法是采用了排除法，即与现有的已知运动进行比较来排除的方法。即:除了通常已知的三种典型运动类型，即平衡点、周期及准周期运动以外的一种貌似随机的运动形态，就是混沌运动，它的特点是局部极其不稳定而整体稳定。这种定义只是笼统的给出了混沌是自然界中一种新的运动形态，没有给出混沌运动的具体刻画，要想真正确定是否是混沌运动还需要进一步验证。
第四种混沌定义是:1989年Devaney给出了一个更直观更便于理解的混沌定义:
设X是一度量空间，一个连续映射f : X →X称为X上的混沌，如果满足下列条件:
(I)f具有对初值的敏感依赖性； (II)f是拓扑传递的；
(III) f的周期点在X中稠密。
对初值的敏感依赖性，意味着初值为x和y的两点，无论x和y离得多么近，在了的作用下两者的轨道都可能分开较大的距离，而且在每个点x附近都可以找到离它很近而在f的作用下离它渐渐远去的点y，对于这样的f，如果用计算机计算它的轨道，任何微小的初值变化，经过若干次迭代后都将导致计算结果的失效。
拓扑传递性意味着任意一点的临域在f的作用下，将传递整个度量空间。周期点集的稠密性，表明系统具有很强的确定性和规律性，决非杂乱无章。乱中有
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序，这正是混沌的深奥之处。
第五种混沌定义是哈肯提出来的，它干脆就把混沌定义为:来源于确定性方程的无规运动。这里最关键的是如何理解所谓的“无规运动”，而不同周期运动的叠加在某种程度上也可以模拟无规行为。
1.2.3通向混沌的道路
目前发现通向混沌的道路有以下几种:一、倍周期分岔道路:随着系统参数的变化，系统的振荡周期由T变为2T、继而为22T ,?，2^T，直至最终进入混沌状态。由倍周期分岔通向混沌是出现混沌的重要方式(或道路)之一。也可以说，出现倍周期分岔即预示着混沌的存在。二、阵发混沌道路:阵发性混沌是指系统在相当长时间内处于某种几乎周期状态，但是随着系统的控制参数接近转变点，会在规整的周期运动过程中不时爆发出一阵阵随机的、不规则的运动片断，而且变得越来越频繁，最后系统进入完全的混沌态，故称阵发性混沌。三、环面破裂:具有两个或两个以上不可约(即比值非有理数)频率成份的拟周期运动在某种情况下失去光滑性，即参数达到临界值时布满拟周期轨道的环面发生破裂，而进入混沌。四、危机道路:与阵发混沌道路一样，危机道路也是间隙的。但不同之处是:危机道路是由全局演化引起的，如跨越稳定与不稳定流型时产生的。在临界参数值之前，是非混沌运动，但是通常存在瞬变过程，在达到它们的渐进规则运动之前，轨迹看上去是混沌的，当参数达到临界值，则混沌的瞬变过程趋于无穷;经过临界后，产生持续的混沌运动。
1.3奇怪吸引子
奇怪吸引子广泛存在于动力学系统中，又称混沌吸引子(Chaotic
Attractor )。指相空间中吸引子的集合，在该集合中混沌轨道在运行。此吸引子不是平衡点，也不是极限环，也不是周期吸引子，而是具有分维数的吸引子，其中最典型的例子是洛伦兹吸引子和伊侬吸引子。
1.3.1洛伦兹吸引子
1963年洛伦兹在“决定性的非周期流”一文中给出了如下插图。由于洛伦兹所得到的吸引子存在于三维相空间中，所以左图为吸引子在YZ平面上的投影，右图则是在XY平面上的投影。
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