图1.2 奇怪吸引子
图1.3伊侬奇怪吸引子
1.3.2伊侬吸引子
伊侬吸引子是从二维映射[[421中迭代产生的，下图是在计算机上经过一万次迭代后所得到的结果。其中(b), (c), (d)依次是前一图内小方框中图形的放大。可以看出，在不同放大倍数下的图形，其结构是相似的。
1.3.3奇怪吸引子特性
奇怪吸引子上的运动对于初始条件非常敏感，作为相空间的子集合，通常具有分维数；奇怪吸引子的结构即使原来的微分方程连续地依赖于参数，它也完全不是连续地随参数而变化，即整体结构会突然变化;它的空间结构相当复杂，这
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来源于轨道的无穷伸长、压缩和折叠;另外，奇怪吸引子具有一切混沌的通用性质、分维数、正的李雅普诺夫指数、正的测度嫡以及功率谱是连续的等等特性。
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第二章 混沌的同步研究及其应用
混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。随着混沌同步和控制的方法在实验研究上的迅速发展，混沌控制与同步应用领域也从物理迅速扩大到化学、生物学、保密通讯、激光控制，电子线路等应用领域。下面简单介绍一些关于混沌同步的定义，之后介绍几种典型的同步方法，最后简要地介绍混沌研究存在的问题。
2. 1混沌的同步
混沌同步，从总体上来讲，属于一种广义混沌控制，就是将系统驱动到人们要求的混沌轨道上去(不是驱动到人们要求的周期轨道上去)。迄今人们已经发现许多种同步方式，例如:全局同步、广义同步、相同步滞后同步等。提出了许多种混沌同步方法，如:驱动一响应同步方法，主动一被动的同步方法，变量反馈微扰同步方法，相互祸合的同步方法等，下面对这些同步的概念和同步的方法作一简要的介绍。
2.1.1同步的定义
总体上说，混沌同步属于混沌控制的范畴，迄今已发现了几种类型的混沌同步，其中一种类型就是Pceora和Carroll提出的同步方案。该方案电路中存在驱动与被驱动的关系，其中驱动电路可分为稳定部分和不稳定部分，将其中的稳定部分复制一个响应，然后把响应系统与驱动系统用驱动信号耦合起来，由此可达到相应系统与驱动系统同步。 随着非线性电路研究的深入，目前已有很多产生混沌的实际电路用于研究混沌产生机制的电路的报道。混沌现象广泛的存在于非线性电路中，比较典型并已得到深入研究的电路是蔡氏电路。若D(to)是R\的一个子集，则称该精确同步定义为部分精确同步，D(to)称为同步区域。
要达到全局精确同步，驱动系统和响应系统必须完全相同，由于在实际中难以产生出两个完全相同的混沌系统，对于确定系统，或多或少存在参数不匹配，有时甚至用一个混沌系统的变量去驱动另一个结构完全不同的混沌系统，这时会
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出现其它形式的同步。
2.1.2广义同步的定义
近些年来，L.Kocarev等人提出了混沌广义同步(Generalized
synchronization简称GS)的概念及方法。当所有初始条件(Xo,Yo) C B的响应
系统轨道都随时间趋于无穷而趋于M。当t→∞时，响应系统的轨道满足Y=H(X)，则称为广义同步。当n=m且f(X)=g（Y)时，则广义同步又回到一般意义下的同步，即:y=H(X)=X。目前对于广义同步的测定主要是构造辅助系统的方法，这种方法主要是构造与响应系统完全相同的系统，并且用相同的信号去驱动它，若响应系统与辅助系统的输出量随时间的延续最终能够达到完全相同，则表明两个系统达到广义同步。即构造:
Z=g(z，h(X)) (2.1)
若有z(t) = y(t)，则表明达到广义同步。这种方法虽然在理论上非常简单，但是在工程上却需要花费很大的财力。
广义同步的测定还可以采用Lyapunov指数方法和符号动力学方法。对于单向藕合的两个混沌系统，当响应系统的第二大Lyapunov指数由0变负时两个系统达到广义同步，或者条件嫡出现突出最小值时表明达到广义同步。
2.1.3相位同步的定义
1996与1997年，Rosenblum等人提出了祸合自振荡混沌系统之间的“相同步”,他们发现当祸合强度增大到一定程度时，两个自然频率不同的振子的相位被锁定,而此时两振子的振幅却没有关联，但是系统的两Lyapunov指数中的一个变为负。相同步在数值研究上被发现后，先后在电路及激光实验中得到了验证。还依赖于混沌轨道的旋转特性，如果轨道有两个或两个以上的旋转中心，这一定义就必须修改，对于映象系统，上述相位的定义也不一定适用。深入研究这些问题从而建立起对混沌轨道旋转性质的系统和确切的描述仍在探讨之中。
继“相同步”提出之后，Rosenblum等人又发现了“滞后同步”，其特征是两藕合混沌系统几乎有相同的状态，只是在时间上一个系统的状态滞后于另一系统的状态。通过数值模拟发现，“相同步”与“滞后同步”存在一定的联系，即:当祸合的混沌系统进入“相同步”之后，如果它们之间的藕合强度继续增强时“相同步”态可以发展成为“滞后同步”的状态，随着系统间藕合强度的进一步增强时间滞后将不断缩短，最后可能发展到全局同步。郑志刚等人发现系统间的参数失匹配程度将直接影响“相同步”与“广义同步”出现的先后顺序，其产生的机制有待于作进一步研究。
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2.2谈谈几种典型的同步方法 2.2.1驱动响应同步法
驱动一响应混沌同步方法是由美国学者Pecora和Carroll在1990年提出来的，其特点是:两个系统存在驱动与响应(被驱动)(Drive-Response)的关系，或称为主役(Master-Slave)关系，响应系统的行为取决于驱动系统，而驱动系统的行为与响应系统无关。
其基本原理为:将驱动系统分解成一个稳定的子系统和一个不稳定的子系统，复制一个与稳定的子系统完全相同的系统作为响应系统。假设驱动系统可以分解为真正用于驱动响应系统的m维驱动变量矢量v以及不用于驱动的k维变量矢量u，响应变量用l维变量矢量w表示。于是，总体动力学系统的总维数为n=m+k+l，总体动力学系统可表示为:
v=f (v,u)(m维)(驱动部分) u=g(v,u)(k维)
w=h (v, w)(1维)(响应部分) (2.2)
复制一个与w完全相同的子系统w作为响应系统:
w=h(v, w) (2.3)
W’和w受相同的驱动变量v驱动，显然，w’和w，同步的条件是当t→∞时， △w=w-w’→0。根据矢量场，可以得到:
△w·h (v, w)一h(v, w')=Dw h(v, w} ) △△+O(v,、’) (2.4) 其中Dwh是响应系统矢量场的雅可比行列式对响应变量w求偏导数，O(v, w)为高
阶项，在△、很小的极限下有:
△w·D,。 h(v, w})d0 (2.5) 若w' (t)是常数或周期态，则可求出D .hw的特征值或多重乘子以判断、 (t)的稳定性。Pecora和Carroll对响应系统的稳定性及同步原理进行了分析，发展了用混沌信号驱动响应系统的稳定性分析理论，即所谓条件Lyapunov指数稳定性判据。给出了如下的同步定理:只有当响应系统的所有的条件Lyapunov指数都为负值时，才能达到响应系统与驱动系统的同步。
由于Pecora-Carroll关于驱动一响应同步方法需要将系统进行特定的分解，使其在实际应用中往往受到很大的限制。1995年 L.Kocarev和U.Parlitoz提出了改进方法，即主动一被动分解法，由于该分解方法十分灵活，且有很好的普遍适用性。
考虑如下的n维的动力学系统:
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