Z≈F(Z) (2.6) 式中Z∈R为状态向量，F为光滑的向量场。我们总可以把系统(2.19)改为非自治系统形式:
X=f (X , S(t)) (2.7) 其中S(t)为所选的驱动变量，它是X中变量的函数，即
S(t)=h(X)或S(t)=h(X,S) (2.8) 复制一个与((2.21)式相同的系统作为响应系统
Y=f (Y,S(t)) (2.9) 若响应系统(2.9)与驱动系统(2.7)受到相同的信号S(t)驱动，由方程((2.9)及((2.7)可推导出两系统变量差e=X-Y的微分方程为:
e = f(X,S)-f(Y,S)= f(X,S)-f(X-e, S) (2.10) 显然式(2.10)在e=0处有一个稳定的不动点，即响应系统(2.10)与驱动系统(2.10)能达到稳定的同步态X =Y。应用Lyapunov函数或线性稳定性分析方法(在。为小值情况下)，或计算(2.9)的条件Lyapunov指数为负，可以证明:则由((2.9)式和((2.7)式所表示的两个混沌系统能够实现同步。这种分解h和f称为主动一被动分解法(Active-Passive Decomposition)或有源一无源分解法。相应的同步类型也称为主动一被动(或有源一无源)同步类型。
主动一被动同步方法的最大优点和关键所在就是可以不受任何限制地选择驱动信号的函数，因此，该法具有更大的普遍实用性。事实上，驱动一响应同步方法是主动一被动同步方法的一种特例情况。在很多情形下，驱动函数可以是一般的函数，它不仅依赖系统的状态，而且还可以与信息信号i(t)有关，它通常是信息信号与混沌(超混沌)信号的函数，即:S(t)=h(X,i)或S(t)=h(X,i,S)写成矢量形式。这个特点使主动一被动同步方法特别适合于保密通信方面的应用。
2.2.2变量反馈微扰同步方法
1993年，德国学者K.Pyragas提出了一种对非线性连续混沌系统的控制方法。即:连续变量反馈微扰控制法。后来这一思想被用来研究两个混沌系统的同步问题。变量反馈微扰同步法的原理可用图2.1表示。
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图2.1变量反馈微扰同步方法的原理图
设混沌系统(I)和(II)分别为:X人(X ),Y。它们的同步问题可用下 列方法描述:
X=fl(X)
X=f2（Y)+F(t) (2.11) F(t)=K(X,Y)
F(t)是两个系统的状态变量差值的函数，可以是线性函数，也可以是非线性函数，它作为小微扰信号反馈到系统(II)中。只要适当调节控制反馈权重系数ki，系统((I)和系统((II)就可以实现混沌同步。当两个系统同步时，反馈量不再起作用，即:F(t)=K -q?(X,Y)一01因此，这种同步方法没有改变原系统X的混沌特性，属于反馈跟踪混沌信号的同步方法。应用小微扰变量反馈法时，应注意到两种因素影响:一种是系统参数变化，二是环境噪声，只要在允许的误差范围内，该方法具有鲁棒性。该方法的优点是不必要对系统进行预先的计算机分析，从实验上技术可行，因此有一定的实用价值，反馈系数K的工作范围可以计算确定，高阶混沌情形可以用微扰限制方法，这时受控变量的最小数目必须等于无微扰系统的正的Lyapunov指数的数目。
2. 2. 3相互祸合的同步方法
基于相互祸合的混沌同步方法是在八十年代由A. V. Gaponov-Grekhov研究流体湍流时得出的。1990年，Winful和Rahman针对激光混沌，研究了在相互祸合半导体激光阵列系统中混沌同步的可能性。1994年，美国Roy和Thombury以及日本的Sugawara等人，通过利用激光强相互祸合，分别独立地从实验上观察到两个混沌激光系统的同步, Carroll等人在研究三个总体祸合的脉冲藕合振子阵列时，也发现了同步现象。大量的研究表明:对于相互祸合的混沌系统在一定
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的条件下(如祸合强度足够大)，可达到混沌同步，对于这一点，Wu和Chua通过研究Chua电路从理论上进行了证明，其实，从稳定性的理论角度很容易理解这一点，因为祸合的目的在于使系统总的收敛趋势大于系统的发散趋势。相互祸合的思想表述如下: 对于混沌系统:
dX/dt=F(X) (2.12)
复制完全相同的系统:
dY/dt=F(Y) (2.13)
其中，X,Y∈R^,F(X),F(Y)不明显地依赖于t。分别在驱动系统和相应系统的动力方程式的右边加入耦合控制项后为：
dX/dt=F(X)+K(Y-X) (2.14) dY/dt=F(Y)+K(X-Y) (2.15)
其中，K称为祸合系数，是一个nxn对角矩阵。一般地，只要选择恰当的耦合系数K，那么在参数匹配下就会使两个系统达到同步。
2.2.4自适应同步方法
“自适应”，是指自然界中的生物能改变自己的习性以适应新的环境的一种特征和能力。所谓自适应同步是:应用自适应控制原理，对混沌中不稳定的周期轨道进行有效的控制，最终实现两个系统的混沌同步。John和Arnritke提出了改进的自适应控制方法，不仅可以应用于控制混沌而且能够实现两个系统的混沌同步。该同步方法的前提是，至少已知系统的一个参数或几个参数，且已知所期望得到的轨迹所对应的参数值。受控参数的变化依赖于如下两个主要条件:一是系统输出变量与期望的相应变量之差二是受控参数的值与期望轨道相应的参数值之差。这种方法可以得到系统参数的变化，所以所有系统的变量可以自由的演化，也不需要知道混沌吸引子的详细情况。
2.3混沌同步的研究进展
混沌同步，从总体上说，属于混沌控制的范畴;但由于混沌自身的特点，同步方法不完全和传统的以抑制混沌为主的控制方法相同。传统的混沌控制一般是将系统稳定在不稳定的周期轨道上，混沌同步则是实现两个系统的混沌状态的完全重构。混沌同步现象的发现，源于九十年代初，首先由美国学者Pecora和Carroll在电子学线路的专门设计的实验中实现两个系统的混沌同步。这既是令人吃惊的，又是引人入胜的发现，因为混沌行为的最大特点就是，运动轨迹对初始条件具有高度的敏感性，所以以前认为在实验室内重构相同的完全同步的混沌系统简直是不可能的事情。但是，混沌同步的发现打破了这个禁锢，开辟了一片
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新天地，使其具有诱人的应用发展前景。混沌应用的研究也出现了新的生机，很多人竞相投入研究，发展了许多不同的同步方案。
2.4混沌同步的应用
混沌的主要特征是类似随机运动的无规则性和对初始条件的敏感依赖性，不可能对混沌时间序列作长时间的预测。混沌同步原理的应用首先是保密通信领域。在数据保密通信中，通常需将原始数据与某种伪随机数据相调制。选择合适的伪随机数据是关键。
混沌信号由于有快速衰减的关联函数和宽带功率谱，可选为伪随机信号。混沌由于对初始条件的高度敏感性而具有高度的随机性，可用来对信号进行调制。同时它又是决定性的，由非线性系统的方程、参数和初始条件完全决定，因而使其有可能用同步的方法来进行复制，从而可通过解调获得原始数据信息。现有的保密通信主要是产生伪随机序列对待发送数字信号进行一系列变换加密，设备复杂，混沌同步应用于保密通信可简化设备，同时提高保密性。
混沌同步应用于通信的基本思想是:利用简单的混沌动力学系统来产生复杂的震荡波形，通过符号动力学理论赋以不同的波形以及不同的信息序列，然后通过适当的小微扰方法，实现对不同信息的切换。
混沌同步应用于通信有几种主要方法:混沌切换、混沌遮掩、混沌调制等等。 混沌遮掩是信息信号和混沌信号被简单的加在一起，混和信号作为传输信号。接收端由同步原理进行设计，用接收到的信号驱动接收端。如发送端和接收端能够同步，作一个简单的减法即可恢复原信号。混沌调制较为复杂，但有一些优点，混沌信号的整个频谱都可以用来隐藏信号，而且对参数变化的敏感性增加，从而增加了保密性。
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第三章 针对Lorenz系统的混沌同步控制电子电路设计
Lorenz吸引子是迄今为止被研究得最为深入的吸引子，它无论从数学还是物理的角度来说都是值得详细地研究。从工程的角度来看，如何实现和应用Lorenz吸引子是一个十分有意义的问题。因此，人们对Lorenz系统进行了大量而深入的探索，还先后提出了Lorenz系统的一些变形，如分段Lorenz系统和模拟Lorenz系统。
3.1 Loren:系统的科学价值和历史意义
Lorenz系统的数学模型是三元一阶非线性微分方程组，它是当今被讨论和引证最多的动力系统的典型例子之一。Lorenz系统既有分叉、混沌现象，也有各种稳定现象，如倍周期、不动点等。一般文献大多关注其不稳定的一面而忽略了其稳定性。尽管30多年来已经对Lorenz系统进行了广泛深入的研究，这个系统仍有许多未解决的问题，仍然对动力系统研究颇具魅力。可以说，Lorenz系统的提出极大地激励和推动了混沌学的理论发展和后来混沌在许多工程学科中的应用。它是混沌学发展史上的一个重要的起点和转折点，具有第一个里程碑的意义。
3.2 Lorenz系统的动力学行为
1963年美国气象学家洛伦兹(Lorenz)研究大气对流，提出了著名的Lorenz方程，Lorenz的初衷是想探求一个常微分方程组，以模拟某些与天气有关的变化过程。他最终使用的方程是从一个对流模型得出的:一个两维的流体室，底部加热，顶部冷却，从而产生对流。
3.2.1 Lorenz系统的基本动力学行为
Lorenz系统的动力学方程为:式中，x正比于对流运动的强度，Y正比于水平方向温度变化，z正比于垂直方向温度变化；a,r和b分别为与Prandtl数、Rayleigh数及容器大小有关的正参数。对各参数在一个宽的范围内取值并在计算机上对Lorenz方程求解，其结果看上去特别复杂。该轨迹为Lorenz系统确定了一个“奇怪吸引子”，基于奇怪吸引子的运动描绘出复杂的“湍流”特性。 当参数取值为a=l0,b=8/3,r=28时，Lorenz系统有一个混沌吸引子，如图所
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