示。
图3.1 Lorenz吸引子
下面列举Lorenz系统的几条最基本的性质: （1)对称性和不变性；
显然，系统在变换(x,y,z) →(-x，-y,-z)下具有不变性，即系统关于z轴具有对称性，且这种对称性对所有的系统参数都能够成立。并且，z轴本身也是系统的一条解轨线，即，当t=0时有x=y=0，则对所有的t>0有x=y =0。进一步，当t→∞时，z轴上所有的解轨线均趋于原点。
(2)耗散性和吸引子的存在性；
系统(3.1)在条件c<1下关于原点是全局、一致和渐进稳定的。下面我们选取如下的Lyapunov函数来进行证明:
(x V, y, z)=1/2(x2+ay2+az2) (3.1) 容易得到下式成立:
V=-a(1+r)/2(x-y)2-a(1-r)(x2+y2)/2-abz2<0 (3.2)
当x→∞时，利用下面方程: d/dt·1/2[x2+y2+(z-a-r2)]
=xdx/dt+ydy/dt+(z-a-r)dz/dt (3.3) =-ax2-y2-b[z-(a+r)/2]2+b(a+r)2/4<0
显然，当x足够大并且随着t增加时，1/2[x2+y2+(z-a-r) 2]是一个正定函数。因此，在相平面上，它的轨线趋于点(0,0,a+r)。
一个初始体积为v(o)的体积元在时间t时收缩为体积元。这意味着，当t→∞时，包含系统轨线的每个体积元以指数速率-(a+b+1)收缩到0。因此，所有的轨线最终会被限制在一个体积元为0的点集合上，并且它的渐进动力行为会被
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固定在一个吸引子上。至于吸引子的形状，在这一步简单分析中尚不能了解清楚。
3.2.2平衡点和分岔
若某一动力系统依赖于某参数，当该参数通过一特定值时，系统的定性行为会发生变化。这种定性行为的变化称为分岔。分岔分为如下三种类型:叉型分岔、霍普夫分岔和鞍一结分岔。其中霍普夫分岔是由于定点稳定性突然变化而出现的极限环。
在系统(3.1)中，当r=1时，我们能够观察到原点出现叉式分岔。若参数a和b固定，而r变化，则两个非平凡平衡点S_和S+，对称地落在z轴的两边。
3.3电子电路的应用设计
电子电路的应用设计方法和步骤如图4.4。电子电路是指含有电阻、电容、晶体管等电子器件，并且能实现某种特定电功能电路。它广泛应用于各种电子设备中。由于电子电路种类繁多，电子电路设计方法和步骤也不尽相同，选择总体方案、设计单元电路、计算参数和选择元器件等环节往往需要交叉进行，甚至出现多次反复。
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图3.2 设计方法和步骤
(一)总体方案的确定
针对所要设计的任务、要求及条件，根据自己掌握的知识和资料，将总体功能合理地分块化，分解成若干个子单元电路，并最后画出各个单元框图相互连接而形成的总体工作原理图。总体方案的选择直接关系到整体电路的合理性和实用性。因此，在总体方案设计时，要多思考、多分析、多比较，要从性能稳定、工作可靠、电路简单、成本低、功耗小、技术先进性、调试维修方便等方面，选择出最佳的设计方案。 （二)单元电路的设计
在进行单元电路的设计时，必须明确对各单元电路的具体要求，详细拟定出单元电路的性能指标，注意到各单元电路之间的配合问题，尽量少用或不用电平
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转换之类的接口电路，并考虑到能使各单元电路采用统一的供电电源，以免造成总体实际电路复杂、可靠性差等缺点。
另外在进行具体设计时，可以选用成型的先进电子电路，亦可在与设计要求较接近的电路的基础上进行适当改进或进行创造性设计。 (三)参数的计算
计算电路参数时应注意以下几点:
1)在计算元器件工作电流、电压和功率等参数时，应考虑工作条件最不利的情况，并且根据实际的情况留有适当的裕量。
2)对于元器件的极限参数必须留有足够的裕量，一般应取1.5一倍的额定值。以免电压不稳定和其它原因外部原因造成电路损坏。
3)对于电阻、电容参数的取值，应选计算值附近的标称值。如电阻值一般在1兆欧姆内进行选择，非电解电容一般在100皮法到0.47微法之间进行选择，电解电容器一般在1到2000微法之间进行选择。
4)在确保设计的电子电路符合功能指标要求的前提下，尽量减少元器件的种类、价格、体积等。计算好参数后，选择好适当的元件。 (四)电路的组装与调试
电子电路的组装与调试在电子设计技术中占有重要的位置。它是对理论设计进行检验、修改和完善的过程，任何一个产品往往都是在安装、调试，并反复修改多次后方能最终完成。
(1)电子电路的安装设计电路完成后要进行安装，其安装通常采用印制电路板、通用电路板和面包板。
(2)电子电路的调试，测试是在电路组装后对电路的参数与工作状态进行测量，调整则是在测试的基础上对电路的某些参数进行修正，以便满足设计的要求。
(3)调试步骤
1)通电前的检查电路安装完毕后，不急于通电。首先应根据电路原理图认真检查电路接线是否正确，即主要直观地检查电源、地线、信号线、元器件引脚之间有无短路，连线有无接触不良，元器件有无漏焊，二极管、晶体管、电解电容器的极性有无错误；其次，在查线时，最好用指针式万用表电阻档，或用数字万用表电阻档的蜂鸣器来测量。
2)通电观察在确认电路接线无错误的情况下，接通电源。电源接通后不急于测量数据，应先观察有无异常现象，如有无冒烟、是否闻到异常气味、手摸器件是否发烫、电源是否有短路现象。如有异常现象，应立即关掉电源，待故障排除后方可重新通电。
3)分块调试把电路按功能分成不同的模块，分别对各模块进行调试。通常调试顺序是按照信号的流向进行，这样可把前级测试过的输出作为后一级的输入信
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号，为最后联调创造条件。分块调试包括静态和动态调试。把静态和动态调试的结果与设计的指标加以比较，经深入分析后对电路与参数提出合理的修整。注意:在测试电路过程中，应对测试结果作详细记录。
目前，在电子设计方面经常使用的电子设计自动化技术是通过计算机仿真和模拟软件进行原理电路的设计和验证，借助于PCB软件进行印制电路板的设计及借助于PLD软件进行可编程器件设计的一种综合性电子设计技术。
3.3.1简单混沌现象研究
在设计混沌同步控制电子电路之前，首先，设计了简单的非线性电路来观察混沌现象。其具体的电路如图3.3。
图3.3 混沌实验电路
其中L=18mH,C1= lOnF ,C2=100nF ,R3=3.3千欧 ,R2=R3=22千欧,R4=2.2千欧，R5=R6=220欧, Ro是由两个线圈组成的电位器，可以进行粗调和微调。这个电路设计过程中，非线性电阻的设计是关键，针对这种情况，进行了反复的调试，最后得出了最佳的非线性电阻设计，即由一个双运算放大器和六个电阻组合来实现。这个电路中，LC并联构成振荡电路，Ro的作用是分相，使Ro两端输入示波器的信号产生相位差，可以得到两个信号的合成图形(图4.6)。双运放TL082的前级和后级正、负反馈同时存在，正反馈的强弱与比值R3/Ro,R6/Ro有关，负反馈的强弱与比值R2/R1,R5/R4有关。当正反馈大于负反馈时，振荡电路才能维持振荡。若调R0，正反馈就发生变化，TL082处于振荡状态，表现出非线性。
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