概率教案（第6章）
第六章 参数估计
数理统计是一门应用性很强的基础数学学科，以概率论为理论基础，侧重于应用随机现象本身的规律性来考虑资料的收集、整理和分析，从而对研究对象的客观规律作出种种合理的和科学的估计和推断。
这一章属于数理统计部分。其研究对象——随机现象，是一门应用性很强的科学，以概率论为基础。但是与概率论相反的学科。概率论主要是在已知总体的分布情况下，求局部发生的概率；而数理统计在未知总体分布的情况之下，从总体中提取数据，对这些数据进行处理来研究总体的具体情况。 点估计
参数估计
数理统计的核心：统计推断 区间估计
假设检验
§6.1总体与样本
一、总体与样本
1．总体：把研究对象的全体叫做总体，用X表示（数量指标：随机变量X取值的全体） 个体：组成总体的每个元素，叫做个体；
对总体的数量指标X而言，每个个体所取的值是不同的，在试验中，抽取了若干个个体就观察到了X的这样或那样的数值，因而这一数量指标X是一随机变量，我们对总体的研究就是对相应随机变量X的分布的研究．X的分布函数和数字特征就称为总体的分布函数和数字特征，今后将不区分总体和相应的随机变量，统称为总体X．
2．样本：从总体X中随机地抽取一部分个体（n个），测得观测结果X1，X2，…，Xn，
称X1，X2，…，Xn，是一个来自总体的样本；
样本值：X1，X2，…，Xn，观察值x1，x2，…，xn，称为样本值； 样本容量：样本中所含个体的数量。 X总体 简单随机样本（满足）： （1）X1，X2，…，Xn相互独立； （2）X1，X2，…，Xn与总体同分布。 X1， X2， …， Xn，样本 注意：如果抽取的个数远小于总体个数，可近似认为简单 随机样本；从理论上讲，抽取样本越多，观察效果越好， 但实际上却不是，要尽量少，而且能体现总体规律性；还 x1， x2， …， xn样本值 有些观察行不通：带有破坏性，如：灯泡的寿命。
例1 设X1,X2,X3,L,X16是总体X:N(1,4)的标本，求（1）Y=解 由题意知X1,X2,X3,L,X16独立同服从N(1,4) （1）所以由定理3.5知Y=?162 } i=1?16Xi服从正太分布N(m,l2)，其中 i=1 1 概率教案（第6章） m=E(Y)=?16E(Xi)=16 i=116l2=D(Y)=?D(Xi)=64 i=1\\Y:N(16,64) 其密度为 f(x)=12p×8e-(x-16)2128 （2）P12 §6.2统计量 样本是进行统计推断的依据，在应用时往往不是直接使用样本本身，而是利用样本的适当函数来进行统计推 断，为此我们引入统计量的概念． 设X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，g(X1,X2,?,Xn)是样本的连续函数．如果g 中不包含未知参数，则称g(X1,X2,?,Xn)是一个统计量．若x1,x2,?,xn是相应于样本X1,X2,?,Xn的观察值，则g(x1,x2,?,xn)是统计量g(X1,X2,?,Xn)的观察值． 注意：统计量g(X1,X2,?,Xn)是随机变量的函数，因而是一个随机变量． 下面介绍几种常用的统计量． 设X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，x1,x2,?,xn是相应的样本值． 1n例：全体学生平均身高，利用X??Xi来推断。 ni?1设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，x1，x2，…，xn是相应于样本X1，X2，…，Xn的样本值。 下面介绍几种常用的统计量． 设X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，x1,x2,?,xn是相应的样本值． 1.样本均值 观察值 1n1nX??Xi x??xi （6.1） ni?1ni?12.样本方差 观察值 2 概率教案（第6章） 1nS?(Xi?X)?n?1i?1 n21?(?Xi2?nX)n?1i?1222 1ns?(xi?x)?n?1i?1 （6.2） n21?(?xi2?nx)n?1i?122样本标准差 观察值 2n1n12S?S?(xi?x) （6.3） ?(Xi?X) s?s?n?1?n?1i?1i?123.样本k阶矩 观察值 1nk1nkAk??Xi,k?1,2,? ak??xi,k?1,2,? （6 .4） ni?1ni?1例1 从某厂生产的同种零件中抽得10个零件，测得重量(单位千克)为10.1，10，9.8，10.5，9.7，10.1，9.9，10.2，10.3，9.9，求（1）样本均值X（2）样本方差S（计算器的使用） 2§6.3常用的统计分布 在数理统计中，由总体X中获得样本后，通常是借助于样本的函数对未知总体进行统计推断，为了实现这 一目的，需要了解样本的函数所服从的分布，即统计量的分布．本节介绍几种常用分布． 一、?2分布 定义6.1 设X1,X2,?,Xn是来自总体N(0,1)的样本，则称随机变量 ?2?X12?X22???Xn2 （6.5） 服从自度为n的?2分布，记为?2~?2(n)，其中n是上式右边独立变量的个数． 可以证明?2(n)分布具有概率密度 nx?1??1x2e2?n?nf?2(n)(x)??22?()2???0x?0 （6.6） 其他其中?（s）=???0e?x?xs?1dx(s?0)是?（伽马）函数， f?2(n)(x)的图形见图6-1． f?2?n??x? f?2?n??x? n?1 n?3 n?4 n?5 o o x 图6-1 图6-2 ? ??2?n? x 3 概率教案（第6章） 可以证明下述结论 ： 1)设?2~?2(n)，则E(?2)?n, D(?2)?2n； 2）?221~?2(n1), ?222~?2(n2)，且?1，?2相互独立， 则 ?221??2~?2(n1?n2) 设?2~?2(n)，对于给定的正数?(0???1)，称满足条件 P{?2??2?(n)}?? 的点?22?(n)为?(n)分布的上?分位点（见图6-2）． 对于不同的?,n的上?分位点?2?(n)的值已制成表格可以查用（见附表）． 如?20.01(19)?36.191． 二、t分布 定义6.2 设X~N(0,1),Y~?2(n) 且X,Y相互独立，则称随机变量 T?XY/n 服从自由度为n的t分布，记为T~t(n)． t(n)分布的概率密度为 ?(n?1)2n?1fT(x)?2(1?x)?(???x???) （6.8）?n??(n22)nfT(x)的图形见图6-3． fT?x? T?x? n?10 f n?4 n?1 ? 图o6-3 x 图o6-4 t??n? x 可以证明limfT(x)1?x22n???2?e 设T~t(n)，对于给定的正数?(0???1)，称满足条件 P{T?t?(n)}?? 的点t?(n)为t(n)分布的上?分位点（见图6-4）． 6.7） 4 （ 概率教案（第6章） t?(n)的值可查附表，在n?44时可利用t?(n)?Z?得到． 三、F分布 定义6.3 设X~?2(m),Y~?2(n) 且X,Y相互独立，则称随机变量 F?X/m （6.9） Y/n服从自由度为m,n的F分布．记为F~F(m,n)． 由定义知道，F~F(m,n)则 1~F(n,m)． FF(m,n)分布的概率密度为 mm?m?nm22?1)()x??(2n??n fF(x)??mnmxm2??(2)?(2)(1?n)??0x?0其他 （6.10） fF(x)的图形见图6-5． 设F~F(m,n)，对于给定的正数?(0???1)，称满足条件P{F?F?(m,n)}??的点F?(m,n)为 F(m,n)分布的上?分位点（见图6-6） fF?x? o fF?x? ? 图6-5 图6-6 x o F??m,n?xF?(m,n)可自附表查到．它具有性质 F1??(m,n)? 1． F?(n,m)四、正态总体的统计分布 设X1,X2,?,Xn是来自正态总体N(?,?)的样本，则由定理3.5有 21n?2X??Xi~N(?,) （6.11） ni?1n 5