概率教案（第6章）
1.48 1.26 1.52 1.56 1.48 1.46；1.30 1.53 1.28 1.43 1.43 1.55；1.57 1.51 1.53 1.74 1.68 1.37；1.47 1.61 1.44 1.43 1.64 1.51；1.51 1.60 1.65 1.60 1.64 1.50
试求（1）μ的置信度为0.95的置信区间（2）求σ2的置信度为0.95的置信区间。 解：
（1）已知n=30，置信度1-α=0.95，α=0.05 μ的置信度为0.95的置信区间为（x?snt?s?(n?1),xt?(n?1)） 2n2计算x=1.5097，s=0.1143 查表t0.025(29)=2.0452 回代得（1.4670，1.5524）
（2）求σ2
的置信度为0.95的置信区间为（(n?1)s2(n?1)s2?2,2） 1??(n?1)??(n?1)22计算s2=0.0131，查表?2?20.025(29)=45.722，0.975(29)=16.047
回代得（0.0083，0.0237）
二、双正态总体X~N（?221,?1），Y~N（?2,?2），X与Y相互独立
1．均值差?1??2的估计 /*构造含有?1??2的枢轴量*/ 设X1,X2,?,Xn1，Y1,Y2,?,Yn2分别为来自总体X，Y的样本 （1）?221,?2均已知
1n1?2n2我们知道X?n?X(?112?2i~N1,)，Y??Yi~N(?2,)
1i?1n1n2i?1n2则X?Y~N(?1???212,n??22
1n)2令Z=
(X?Y)?(?1??2)?2）
1?2~N（0，12n?1n2由单正态总体的区间估计可知?1??2的置信度为1-α的置信区间： （X?Y??2?212?22n?1nz?，X?Y??2122n?z?）
1n22（2）?221,?2均未知，但相等 令T=
(X?Y)?(?1??2)~t(n1?nS112?2)
pn?1n2
16
概率教案（第6章）
2(n1?1)S12?(n2?1)S2其中Sp?，则还是由单正态总体的区间估计可知?1??2的置信度为1-α的置信区间：
n1?n2?2（X?Y?t?(n1?n2?2)Sp21111，X?Y?t?(n1?n2?2)Sp） ??n1n2n1n22例3．为提高生产率，试验加入催化剂，得到以下两组数据
2旧：n1=8，x=91.73，s1=3.89，X~N（?1,?12）
22新：n1=8，y=93.75，s2=4.02，Y~N（?2,?2）求?1??2的0.95的置信区间。
2解：由题意1-α=0.95，则α=0.05，?12,?2均未知，但相等，则?1??2的1-α的置信区间为
（X?Y?t?(n1?n2?2)Sp21111，X?Y?t?(n1?n2?2)Sp） ??n1n2nn1222(n1?1)S12?(n2?1)S2计算Sp?=3.96?1.99
n1?n2?2查表t0.025(14)=2。1448，代入得到（-4.15，0.11） /*从这个区间上可以看出?1??2的可能性比较大*/ 2．方差比?1/?2的置信区间（?1,?2未知） 我们知道
22(n1?1)S12?212221~?(n1?1)，
22(n2?1)S2?22~?2(n2?1)
(n1?1)S12令F=
??/(n1?1)/(n2?1)2(n2?1)S22S12/S2?22~F(n1?1,n2?1) ?1/?2则?/?2122置信度为
S121S121-α的置信区间：（2，2S2F?(n1?1,n2?1)S2F21?1）
(n?1,n?1)?122例4．为比较两个煤矿所产煤的质量，测得一下的发热两（以百万卡/吨计）
煤矿A：8500 8330 8480 7960 8030 煤矿B：7710 7890 7920 8270 7860
设样本依次来自总体X~N（?1,?1），Y~N（?2,?2），但?1,?1，且两样本独立，试求方差比?1/?2?2,?2均未知，的置信度为0.90的置信区间。 解：?/?2122置信度为
222222S121S121-α的置信区间：（2，2S2F?(n1?1,n2?1)S2F21?1）
?(n1?1,n2?1)2已知1-α=0.90，则α=0.10，n1=n2=5
17
概率教案（第6章）
2计算S12=63450，S2=42650，
查表F0.05(4,4)=6.39，F0.95(4,4)?1=0.157
F0.05(4,4)2回代得到（0.233，9.506）由此可见?12??2的概率比较大
18
概率教案（第6章）
习题六
1．设X1,X2,X3为来自均值为?，方差为?的总体的样本． 求（1）D(
（2）E(X1?X2?X3)2
2．设X1,X2,X3是总体N(?,?2)的样本，其中?已知，?未知． （1）写出
（2）写出X1,X2的联合概率密度；
（3）指出1(X1?X2?X3)，X1?X2?2?，max{X1,X2,X3}，2(X1?X2?X3)中哪些是统计量，
?3哪些不是统计量．
2222
11X1?X2?X3) 232
11X1?X2?X3的概率密度； 2313．假设某种设备每天停机时间服从均值为??4小时，标准差为??0.8小时的分布． （1）求一个月（30天）中，每天平均停机时间在1到5小时的概率．
（2）求一个月（30天）中，总的停机时间不超过115小时的概率．
4．已知样本观测值为
15.8 24.2 14.5 17.4 13.2 20.8 19.9 19.1 21.0 18.5 16.4 22.6，计算样本均值X及样本方差
S2．
19
概率教案（第6章）
5．填空题
2（1）设X1,X2,?Xn是抽自总体N(?,?2)的样本，X，S分别为样本均值和样本方差，则 X~ 分布；
nX??X??~ 分布；~ 分布；
?/nS/n
?(i?1Xi??2? 分布； )~?(i?1nXi?X2?)~ 分布．
（2）设随机变量X~N(?,1)，Y~?2(n)，且二者独立，则T?
X??~ 分布． Y/n（3）设X,Y相互独立，且X~?2(8),Y~?2(10)，则X?Y~ , E(X?Y)? ．
（4）设X1,X2,?Xn为总体B(1,p)的样本，0?p?1为常数，X为样本均值，则P{X?}? ．
6．设总体X~N(40,52)
（1）抽取容量为36的样本，求样本均值X在38与43之间的概率．
（2）抽取样本容量多大时，才能使P{|X?40|?1}达到0.99．
7．设X1,X2,?X16是来自总体N(?,?)的样本，其中
2kn?,?2均未知，S2为样本方差，求
P{S2/?2?2.041}? ．
8．设X1,X2,?X10为总体N(0,0.3)的一个样本，求P{
9．设X1,X2,?Xm是来自总体?(n)的样本，求样本均值X的期望及方差．
22?Xi?1102i?1.44}
20