概率教案（第6章）
或
X??~N(0,1) （6.12）
?/n定理1
(n?1)S22?12?(Xn2i2且X与S相互独立． ?X)~?2(n?1) （6.13）
??i?1 （证明见附录）。 定理2
X??S/n~t(n?1) （6.14）
证明：由（6.12）及（6.13）按t分布定义有
x-mx-msnSn=(n-1)S2:t(n-1) s2n-1
F10.95(10,20)?F?1?0.36
0.05(20,10)2.77
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概率教案（第6章）
§6.4参数的点估计（参数的近似值）
参数估计：实际工作中碰到的总体X，它的分布类型往往是知道的（如果对总体的分布类型也未确定，参见第6章）只是不知道其中的某些参数。 例如：产品的质量指标X~ N（μ，σ2），但μ，σ2未知，借助于总体X的一个样本来估计。 由于μ=E（X），可测得x1，x2，…，x10，用x来估计μ。 分为参数的点估计和参数的区间估计。
例1 某地区去年每月因交通事故死亡的人数如下：
3 ，2， 0， 5， 4， 3， 1， 0， 7， 2， 0， 2
假设每月交通事故死亡的人数X服从参数为?的泊松分布，?未知，??0，试估计参数?．
解 由于X~P(?)，所以??E(X)
设X1,X2,?,Xn是总体X~P(?)的样本，由大数定律知
1npX??Xi???E(X)??
ni?1故可以用
X的观察值
x作为?的估计值．于是
?的估计值为
x?
1(3?2?0?5?4?3?1?0?7?2?0?2)?2.417． 12参数点估计：总体X的分布函数F（x;?1,?2?,?k）的形式是已知的，其中?1,?2?,?k是待估计的参数。点估计问题就是根据样本（X1,X2,?,Xn）对?1,?2?,?k进行估计。
??h（X,X,?,X）叫做θ的估计量 估计量：X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，?12n（此时是随机变量）
??h（x,x,?,x）叫做θ的估计值（此时估计值：将样本值x1，x2，…，xn，代入（X1,X2,?,Xn），得到?12n是个具体数值）
对于不同样本值，估计值一般是不同的。 常用的方法：矩估计法，极大似然估计法 一、矩估计法
英国统计学家皮尔逊提出的，古老而直观的方法。
思想：以样本矩作为相应的总体矩的估计，以样本矩的函数作为相应的总体矩的同一函数的估计。 具体做法：
如果总体的分布含有k个待估计的参数?1,?2?,?k，若E（X）存在，令?i?E(Xi)(i?1,?,k)也是
k?1,?2?,?k的函数，这样就构造了k个方程组，从中解出?i?gi(?1,?,?k)(i?1,?,k)
1ni现实生活中，用样本的i阶原点矩：Ai??Xj
nj?1
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概率教案（第6章）
?i?Ai(i?1,2,?,k) 来估计相应的?i，即???g(A,?,A)(i?1,?,k) 用A1,?,Ak来估计相应?i，?ii1k?(??1)x?,0?x?1例1．设总体X的概率密度为f(x;?)??，其中θ>-1为待估参数。设X1,X2,?,Xn是来自
0,其他?总体X的一个样本，试求θ的矩估计量。 解：总体的一阶矩为?1?E(X)??????xf(x;?)dx=?x(??1)x?dx=
01??1??21??1x|0? ??2??2n??11?2A11??A1?，其中A1??Xi?X ????2A1?1ni?1???1?2X??1?2x为θ的估计值。 为θ的估计量，而?x?1X?1若X为连续型，其概率密度为f(x;?1,?2)时：
?1?E(X)??xf(x;?1,?2)dx??1(?1,?2)
?????2?E(X2)??x2f(x;?1,?2)dx??2(?1,?2)
?????1(?1,?2)?A1，??2(?1,?2)?A2 令???h(X,?,X)，???h(X,?,X)估计量 解得?111n221n??h(x,?,x)，???h(x,?,x)估计值 ?111n221n???1?x??e,x??，其中μ，θ（θ>0）为待估参数。设X,X,?,X是
例2．设总体X的概率密度为f(x;?,?)???12n??0,其他来自X的样本。试求μ，θ的矩估计量。 解：?1?E(X)?2???????xf(x;?,?)dx=????xe1?x????dx=μ+θ
?2?E(X)??x2f(x;?,?)dx=μ2+2θ（μ+θ）
??令μ+θ=A1，μ2+2θ（μ+θ）=A2
1n21n22?解得??A2?A1?Xi?X?(Xi?X)2 ??ni?1ni?1n1??X???X?? ?(Xi?X)2 ?ni?1例3．设总体X的均值μ，方差σ2>0均未知，X1,X2,?,Xn是来自样本总体X的样本，试求μ，σ2的矩估计量。
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概率教案（第6章）
解：?1?E(X)??，?1?E(X2)?D(X)?E2(X)??2??2 令A1??，A2??2??2
1n??A2?A??(Xi?X)2 ??A1?X，?解得：?ni?1221由此题可见，总体均值可用样本均值估计，总体方差可以用样本方差来估计。 二、极大似然估计法
基本思想：若事件A的概率依赖于未知参数θ，如果观察到A已经发生，那么就取θ的估计值使A的概率为最大。（极大似然法的直观想法：如果随机试验的结果得到样本观察值x1,x2,?,xn，则我们应当这样选取?，使这组样本观察值出现的可能性最大，作为?的估计值??．）
1．设总体X为离散型，其分布律为P{X=x}=p（x；θ），θ??为待估参数，设X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，则样本取到的样本值x1,x2,?,xn的概率为
P{X1?x1,X2?x2,?,Xn?xn}=P{X1?x1}P{X2?x2}?P{Xn?xn}
=
?P{Xi?1ni?xi}??p(xi;?)
i?1n令L（θ）=L（x1,x2,?,xn；θ）=
nn?p(x;?)——极大似然函数
ii?1inLnL（θ）=ln?p(x;?)=?lnp(x;?)
ii?1i?1dL(?)dlnL(?)??f(x,x,?,x) ?0或?0从而得到?12nd?d?d2L(?)?0，极大似然估计值 且
d?2例4．设总体X~π（λ），λ>0为待估参数，设X1,X2,?,Xn是来自X的一个样本，试求λ的极大似然估计值和估计量。
解：由题可知P{X=x}=p（x；λ）=
?xe??x!(x?0,1,2,?)/*难点：整理部分*/
L（λ）=
?i?1n?exi??xi!=
??xii?1ne?n?i?x!i?1n
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概率教案（第6章）
LnL（λ）=?n???x?ln???x!
iii?1nnni?1xi?dlnL(?)1ni?1???n?令=0，得???xi?x估计值
d??ni?11n?其估计量???Xi?X
ni?12．设总体X为连续型，其概率密度为f(x;?),???，设X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个样本，则
X1,X2,?,Xn的联合概率密度为 f(x1;?)f(x2;?)?f(xn;?)=?f(xi;?)
i?1nLnL（θ）=
?f(x;?)——极大似然函数
ii?1n?(??1)x?,0?x?1例5．f(x;?)??（θ>-1，待估参数）
0,其他?解： L（θ）=
?f(x;?)=(??1)?x?
niii?1i?1nnLnL（θ）=nln(??1)???lnx
ii?1nndlnL(?)n???1????lnxi令=0，得?d???1i?1n?lnxi?1n为极大似然估计值
i若含两个待估参数： L（θ1，θ2）=
?f(x;?,?)或?p(x;?,?)令
i12i12i?1i?1nn?lnL?lnL=0，=0 ??1??2例6．设X~N（μ，σ2）；μ，σ2>0未知，x1,x2,?,xn为一个样本值，求μ，σ2的极大似然估计。 解：f(x;?,?2)n1e2???(x??)22?2(???x???)
n?22?12?2L（μ，σ2）=
?i?1?1e2??(xi??)2?2=(2??)e?(xi??)2i?1n
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