概率教案（第6章）
10．灯泡厂从某日生产的一批灯泡中抽取10个灯泡进行寿命试验，得到灯泡寿命（小时）数据如下： 1050 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200 求该日生产的整批灯泡的平均寿命及寿命方差的无偏估计值．
11．设X1,X2,?Xn为抽自二项分布B(m,p)的样本，m已知，求p的矩估计和极大似然估计．
12．设X1,X2,?Xn是来自总体X~P(?)的样本，?未知(??0)，求?的矩估计与极大似然估计．
13．设总体X的概率密度为
??(1?x)??1f(x,?)??,0?x?1?0,其它
其中?未知，X1,X2,?Xn为来自总体X的样本． 求?的矩估计量及极大似然估计量．
14．设总体X的概率密度为
?1?1xf(x)???e?,x?0
???0,x?0X1,X2,?Xn为总体X的样本．
求 （1）?的矩估计量与极大似然估计量． （2）证明所求估计量为?的无偏估计量．
21
概率教案（第6章）
15．一个电子线路上电压表的读数X服从[?,??1]上均匀分布，其中?是该线路上电压的真值，但它是未知的，假设X1,X2,?Xn是此电压表上读数的一组样本． （1）证明样本均值X不是?的无偏估计． （2）求?的矩估计量，证明它是?的无偏估计．
?)??2,D(??)??2，取 ?和??都是?的无偏估计，且D(?16．设?112212??c???(1?c)??(0?c?1) ?12（1）证明??是?的无偏估计
?,??相互独立，确定c使D(??)达到最小． （2）如果?12
17．设某种清漆的9个样品，其干燥时间（单位：h）分别为6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 ，设干燥时间X~N(?,?)，求?的置信度为95%的置信区间 （1）??0.6(h)
（2）?未知
18．某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取9个，测得直径均值为x?14.91，直径的标准差
2s?0.203，设滚珠直径服从正态分布，求
（1）直径的均值?的置信度为0.95的置信区间．
（2）直径的方差?的置信度为0.95的置信区间．
222
概率教案（第6章）
19．已知某种材料的抗压强度X~N(?,?2)，现随机地抽取10个试件进行抗压试验，测得数据如下：482 493 457 471 510 446 435 418 394 469 ，求平均抗压强度?的置信水平为95%的置信区间．
20．欲比较甲、乙两种棉花品种的优劣，现假设用它们纺出的棉纱强度分别服从N(?1,2.182)和
N(?2,1.762)，试验者从这两种棉纱中分别抽取样本X1,X2,?X200和Y1,Y2,?Y100，其均值为X?5.32Y?
21．随机地从A批导线中抽取4根，从B批导线中抽取5根，测得电阻(?)为： A： 0.143 0.142 0.143 0.137
B： 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140
设A, B两批导线的电阻分别服从正态分布N(?1,?12)和N(?2,?22)，?1,?2,?12,?22未知． 求：(1)当?12??22??2时，求?1??2的置信度0.95的置信区间．
?1??2的置信度为0.95的置信区间． 5.，求均值差76?12（2）方差比2的置信度为0.95的置信区间．
?2
22．设随机变量X,Y相互独立，均服从N(0,3)，X1,X2,?X9与Y1,Y2,?Y9分别来自总体X和Y的样本．证明：U?2X1?X2???X9Y?Y2???Y92122~t(9)．
23
概率教案（第6章）
补充与提高
23．填空
（1）已知一批零件的长度X（单位 cm）服从正态分布N(?,1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40（cm），则?的置信度为0.95的置信区间是 ． （附表：?(1.96)?0.975,?(1.645)?0.95）
（2）设总体X~N(?1,?2)，总体Y~N(?2,?2)，X1,X2,?Xn1和Y1,Y2,?Yn2分别是来自总体X和Y的
?(X样本，则E[
i?1n1i?X)??(Yj?Y)22j?1n2n1?n2?2]? ．
（3）设总体X的概率密度为f(x)?1?|x|e2(???x??)，X1,X2,?Xn为总体X的样本，其样本方差为
S2，则E(S2)? ．
24．选择
（1）设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则（ ）
222 （A） X?Y服从正态分布 （B）X?Y服从?分布
X2 （C） X和Y都服从?分布 （D）2服从F分布
Y22
2
（2）设随机变量T服从分布t(n)，对给定?(0???1)，数t?(n)满足P{T??t(n)}??，若
P{|T?|t}??，则t等于（ ）
(A) t?/2(n) (B) t1??/2(n) (C) t1??(n) (D) t1??(n)
2
（3） 设X1,X2,?Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，S为样本方差，则（ ）
2(n?1)X(n?1)X12~t(n?1)（D）n~F(1,n?1) （A）nX~N(0,1)（B）nS~?(n) （C）
S?Xi222i?2
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概率教案（第6章）
（4）设一批零件的长度服从N(?,?2)，其中?,?2均未知，现从中随机抽取16个零件，测得样本均值
x?20cm，样本标准差s?1cm，则?置信度为0.90的置信区间是（ ）
（A） (20?
25．设某种元件的使用寿命X的概率密度为
1111t0.05(16)) （B）(20?t0.1(16)) （C） (20?t0.05(15)) （D）(20?t0.1(15)) 4444?2e?2(x??),x?? f(x,?)?? x???0,其中??0未知，又设x1,x2,?,xn是X的一组样本观测值，求参数?的极大似然估计值．
26．假设0.50，1.25，0.80，2.00是来自总体X的样本值，已知Y?lnX服从正态分布N(?,1)，求： （1）X的数学期望E(X)．
（2）求?的置信度为0.95的置信区间；
（3）利用上述结果求b?E(X)的置信度为0.95的置信区间．
27．设总体X服从N(?,?)，从该总体中抽取样本X1,X2,?X2nn212n(n?2)，其样本均值为X??Xi，
2ni?1求统计量Y?
?(Xi?12的数学期望E(Y)． ?X?2X)in?i25
概率教案（第6章）
28．设总体X的概率分布为 0 1 2 3 X p ? 2?(1??) ? 1?2? 22其中?(0???)是未知参数，利用总体X的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3.求?的矩估计值和极大似然估计值．
29．设总体X的分布函数为
121??1??,F(x,?)??x??0,x?1x?1
其中未知参数??1，X1,X2,?Xn是来自总体X的样本． 求（1）?的矩估计量．
（2）?的极大似然估计量．
30．设总体X的概率密度为
??,?f(x,?)??1??,?0,?0?x?11?x?2 其它其中?是未知参数(0???1)，X1,X2,?Xn为来自总体X的样本，记N为样本值x1,x2,?,xn中小于1的个数．
求（1）?的矩估计．
（2）?的极大似然估计．
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