概率教案（第6章）
n1n2lnL（μ，σ）=?[ln2??ln?]?(xi??)2 2?22?i?12
n?lnL1n?lnLn12=0 ??2(?xi?n?)=0，???(x??)?i2222???i?1??2?2(?)i?1n?xx????i?1?x??解得? nn?21???(xi?x)2??ni?1?3.评定估计量好坏的标准
对于总体分布中一个未知参数，可提出不同的估计量
??如例1和例5中θ的估计量，矩估计：?1?2X X?1???1?极大似然估计：?n?lnXi?1n
i这就出现了比较好坏的问题，给出评定好坏标准
下面介绍三个常用的评定估计量好坏的标准： 1）无偏性
?????(X,X,?,X)为参数θ的一个估计量，若E（??）=θ，则称??为θ的一个无偏估计量。称|E（??-θ）设?12n|为系统误差。
1nk例7．试证：无论总体的分布如何，样本k阶原点矩Ak??Xi是总体k阶原点矩?k?E(Xk)的无偏估计（当
ni?1k=1时，X是μ的无偏估计）
n1nk11n1nkkkk证明：E(Ak)?E(?Xi)=E(?Xi)=?E(Xi)=?E(X)?E(X)??k
ni?1ni?1ni?1ni?1例8．试证：无论总体（E（X）=μ，D（X）=σ2）分布如何，S2是σ2的无偏估计
1n证明：S=(Xi?X)2，E（X）=μ，D（X）=σ2/n， ?n?1i?12
n11n1222E（S）=E[]=E[]=[nE（X2）-nE（X）] (X?X)(X?nX)??iin?1n?1i?1n?1i?12
11[n（σ2+μ2）-n（σ2/n+μ2）]= （n-1）σ2=σ2 n?1n?1n?12n?122
M2=S，E（M2）=σ≠σ，所以M2不是σ2的无偏估计
nn=
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概率教案（第6章）
1n/* M2=n?(Xi?X)2*/
i?1纠偏：
nn?1 M2 例9．设总体X~U（0，θ），证明???max(X1,X2,?,Xn)是有偏的。 ?1?0,x?0证明：f(x)???,0?x??，分布函数F??x??X(x)?,0?x??，则 ?0,其他???1,??x?Fz)?[F(z)]n??0,z?0???zn?nzn,0?z????(??n,0?z??，其概率密度f??(z)???n
??1,??z??0,其他E（z）=
???nnnzn?1??zf(z)dz???0?nzdz??n?nn?1|0?n?1??? 纠偏
n?1nmax(X1,X2,?,Xn) 2）有效性
设??1，??2同为θ的无偏估计，若D（??1）≤D（??2），则认为??1更为有效。
例10．总体X~π（λ），X1,X2,?,Xn为来自总体的样本 则
??1?X1， E(??1)?E(X1)?? ???112?2X1?2X2，E(?2)?E(12X1?12X2)?? ??3?13X1?23X2，E(??3)?E(13X1?23X2)??都是λ的无偏估计 D(??1)?D(X1)?? D(??2)?D(12X1?12X2)?14D(X1)?14D(X2)??2 D(??)?D(13X?23X)?19D(X)?49D(X)?5312129? 显然??2更有效 nn例11．证明：X与
?ciXi（
i=1）同为E（X）=μ的无偏估计，但X更有效
i?1?ci?1nn证明：E（X）=μ，E（
?ciXi）=
iXi)=μ
i?1?cE(i?1
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概率教案（第6章）
X）=?2D（n，
nnnD（
?c22iXi）=
i
i?1?cD(X)??2iii?1?ci?1n2n2nnn?ci?2n)2i?1，进而i?1?1i?1?c?(?1?ci?c21i?i?1i?1i?1n n也就是说D（X）≤D（?ciXi）
i?13）一致性
若???0，lim?n??P{|???|??}?1，????P??，则称??为θ的一致估计量。
如弱大数定理
nlimP{|X??|??}?1，X??P??，同理AP??k????k?E(Xk)
X是总体均值μ的无偏，有效，一致估计量
S2是总体方差σ2的无偏，有效，一致估计量
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概率教案（第6章）
§6.5区间估计
?去估计未知参数，由于??是一个随机变量，由一组样本确定的，不会总是恰好与θ相等，有一定的误用点估计?差。也就是说点估计值仅仅是未知参数的一个近似值不能反映这个近似值的误差范围。区间估计正好弥补了点估计这个缺点。
/*区间尽量小，未知参数落在这个区间的概率尽可能大*/ 1．定义：设总体X的分布函数F（x；θ），其中含有一个未知参数θ，对于给定α（0<α<1），如果有两个统计量：θ=θ(X1,?,Xn)，???(X1,?,Xn)使P{θ<θ
θ θ
一、单个正态总体X~N（μ，σ2） 1．μ的置信度为1-α的置信区间
下面通过解决一个实际问题来考察求置信区间的一般方法
例1．某车间生产滚珠，滚珠的直径X~N（μ，σ2），随机取6个X1,?,X6为一个样本， （14.7，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1）为一组观测值，给定置信度1-α=0.95，求μ的置信区间。
X?16?6Xi~N（μ，σ2/6）
i?1分析：P{μ<μ
X?1n?nXX??i~N（μ，σ2/n）令Z=
~N（0，1） i?1?/n给定1-α，由分位点定义
P{?z??z?z?}? P{?zx?????/n?z?}=1-α?
2222P{x??nz?????x?2nz?}=1-α
2
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概率教案（第6章）
则μ的1-α置信区间为（x??nz?,x?2?nz?）
2例1．给出σ=0.2，n=6，计算x=14.97，α=0.05，z?=1.96（查表）
2/*?(z?)=1-α/2=0.975?z?=1.96*/
22经计算得到μ的0.95置信区间为（14.81，15.13） 构造枢轴量的步骤： 1） 从点估计出发 2） 含有待估参数 3） 不含其他未知数 4） 分布已知 （1）σ2未知 T=
fT?x? X??~t（n-1），其中T为枢轴量
S/n?t??n? 2o t??n? x 2P{?t?(n?1)?2x??ss?t?(n?1)}=1-α?P{x?t?(n?1)???x?t?(n?1)} s/nnn222sst?(n?1),x?t?(n?1)） n2n2得μ的1-α置信区间为：（x?16例1．若σ未知，计算s=(xi?x)2，查表t0.975(5)=2.5706 ?5i?1得到μ的0.95置信区间为（14.76，15.18） 2．σ2的置信度为1-α的置信区间 只考虑μ未知的情况
??2(n?1)S2?2~?2(n?1)枢轴量
P{?2?(n?1)?1?22
(n?1)s2?22???(n?1)}=1-α
2f?2?n??x? (n?1)s2(n?1)s2得σ的1-α置信区间为：（2） ,2??(n?1)??(n?1)1?o ?2?n? ?2?n? x 总结解题步骤：
?1??221） 列出已知条件
2） 确定待估计参数的区间 3） 计算 4） 查表 5） 回代
例2．在某一计算机终端上调试程序，其响应时间X（以S计）具有正态分布X~N（μ，σ2），μ，σ2未知，今测得X的样本值如下：
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