在抛物线y＝x2－3x上， 1∴ n＋3＝n2－3n， 4
3345
解得：n1＝－，n2＝4(不合题意，会去)，∴ 点N的坐标为(－，)．
4416345
方法一：如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，则N1(－，－)，
416B1(4，－4)，
∴ O、D、B1都在直线y＝－x上． ∵ △P1OD∽△NOB，∴ △P1OD∽△N1OB1，∴ 345
标为(－，－)．
832
453
将△OP1D沿直线y＝－x翻折，可得另一个满足条件的点P2(，)．
328345453
综上所述，点P的坐标是(－，－)或(，)．
832328
45
方法二：如图2，将△NOB绕原点顺时针旋转90°，得到△N2OB2，则N2(，
163
)，B2(4，－4)， 4
∴ O、D、B2都在直线y＝－x上． ∵ △P1OD∽△NOB，∴ △P1OD∽△N2OB2，∴ 453标为(，)．
328
345
将△OP1D沿直线y＝－x翻折，可得另一个满足条件的点P2(－，－)．
832345453
综上所述，点P的坐标是(－，－)或(，)．
832328
福建龙岩10．如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，把矩形ABCD 绕AB所在直线旋
11
转一周所得圆柱的侧面积为
A．10? B．4? C．2? D．2 B
（第10题图） OP1OD1
＝＝，∴ 点P1的坐ON1OB12
（第17题图）
17．如图，平面直角坐标系中，⊙O1过原点O，且⊙O1与⊙O2相外切，圆心O1与O2在x轴正半轴上，⊙O1的半径O1P1、⊙O2的半径O2P2都与x轴垂直，且点P1?x1,y1?、P2?x2,y2?在反比例函数y?1x（x>0）的图象上，则y1?y2?_________．2
福建龙岩24．矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的
对应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF．
（1）当A′与B重合时（如图1），EF= ；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长；
（2）观察图3和图4，设BA′=x，①当x的取值范围是 时，四边形AEA′F
是菱形；②在①的条件下，利用图4证明四边形AEA′F是菱形．
OP1OD1
＝＝，∴ 点P1的坐ON2OB22
24． (1) 5 ……………………………………………………2分
?5 ?A??EA?D?90° 解法1：由折叠（轴对称）性质知 A?D?AD
在Rt△A?DC中，DC?AB=3 ∴ A?C?5?3?4
22?F∴四边形AEA是菱形．
∴A?B?BC?A?C?5?4?1
∵?EA?B??BEA???EA?B??FA?C?900 ∵?BEA???FA?C 又 ∵?B??C?90°
∴Rt△EBA?∽Rt△A?CF ∴
A?EA?F2法二：由折叠（轴对称）性质知AE?A?E，AF?A?F，AB?A?B?
过A?作A?G?BC，交AD于G，证明?A?GF??A?B?E得 A?F?A?E
?F∴AE?A?E?A?F?AF ∴四边形AEA是菱形
?A?BFC A?E?5103A?BFC?A?F?53
25．在平面直角坐标系xoy中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB在x轴
上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）．
（1）请直接写出点B、C的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；并求经过A、B、
C三点的抛物线解析式；
（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），
在Rt△A?EF中，EF?A?E?A?D2?259?25?…6分
解法2：同解法1得A?B?1设A?E?AE?x，则BE?3?x ………4分
在Rt△EBA?中，A?E2?BE2?A?B2 ∴x??3?x??1x?2253
把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C． 此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M．
①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；
②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（1）B（3，0），C（0，3）
备用图
在Rt△A?EF中，EF?A?E?A?D22?259?25?125103……6分
解法3：同解法1得Rt△EBA?∽Rt△A?CF S?A?FC??A?B?12?S??6? ??A?FC93?FC?AB?3?4?6
2 S?A?BE??∴S四边形A 连
S四边形AE=S?F矩形A-SA?FC?DC-S=15－6－??AB23=253
AA?=AB+A?B=9+1=10
22结
=?FA12AA?，AA??EF??E=AAF1210?EF=253，∴ EF=5103E
（2）①3?x?5 ②证明：
?,EA?F?A? A 法一：由折叠（轴对称）性质知?AEF??FE AE?A F 又 ∵AD∥BC ∴∠AFE=∠FEA′ ∴∠AEF=∠AFE ∴AE=AF ∴AE?A?E?A?F?AF
12
解：法1： 设过A、B、C三点的抛物线为y?a?x?x1??x?x2?(a?0)，则
∵A（—1，0）B（3，0） ∴y?a?x?1??x?3? 又∵C（0，3）在抛物线上 ∴3?a?0?1??0?3?
∴a??33 ⅲ）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线x?1的交点 ∴P(1，
233)
233 ∴综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，—2）或（1，23）或（1，233）
∴y??33OCOB?x?1??x?3? 即y?OEOC??33x?2时，△EPM为等腰三角形．
x?3
福建南平 10. 如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为【 】
（2）①解：当△OCE∽△OBC时，则OB=3 ∴33?x?13 ∵OC?3， OE=AE—AO=x?1，
∴x?2 ∴当x?2时，△OCE∽△OBC．
A．
32 B．
52 C．
94 D．3
（2）②解：存在点P. 理由如下： 由①可知x?2 ∴OE=1 ∴E（1，0） 此时，△CAE为等边三角形
∴∠AEC=∠A=60°
又∵∠CEM=60° ∴∠MEB=60° ∴点C与点M关于抛物线的对称轴
x??b2a?1对称.
【分析】∵正方形纸片ABCD的边长为3，∴∠C=90°，BC=CD=3。根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF。
设DF=x，则EF=EG＋GF=1＋x，FC=DC－DF=3－x，EC=BC－BE=3－1=2。 在Rt△EFC中，EF2=EC2＋FC2，即（x＋1）2=22＋（3－x）2，解得：x?∴DF=
3232。
，EF=1＋=2352。故选B。
∵C（0，3） ∴M2,3
过M作MN⊥x轴于点N（2，0） ∴MN=3 ∴ EN=1 ∴ EM=
EN?EM22???2
若△PEM为等腰三角形,则:
ⅰ)当EP=EM时, ∵EM=2，且点P在直线x?1上 ∴P(1，2)或P(1，
—2)
ⅱ）当EM=PM时,点M在EP的垂直平分线上 ∴P(1，23)
13
2? am?bm?c?0 a??1 ? ??∴?c?m ，解得?b?m?1 。∴此抛物线的解析式为：y=?a?b?c?0?c?m??－x2＋（m－1）x＋m。
， 18．设[x）表示大于x的最小整数，如[3）=4，[－1.2）=－1，则下列结论中正确的是 －1）▲ ．（填写所有正确结论的序号）①[0）=0；②[x）－x的最小值是0；③[x）－x的最大值是0；④存在实数x，使[x）－x=0.5成立．
【分析】根据题意[x）表示大于x的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案：
①[0）=1，故结论错误；②[x）－x＞0，但是取不到0，故结论错误； ③[x）－x≤1，即最大值为1，故结论错误；④存在实数x，使[x）－x=0.5成立，
例如x=0.5时，故结论正确。
福建南平25．在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为（m，1）（m＞0），将此矩形绕O点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′． （1）写出点A、A′、C′的坐标；
（2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax+bx+c，求此抛物线的解析式；（a、b、c可用含m的式子表示）
（3）试探究：当m的值改变时，点B关于点O的对称点D是否可能落在（2）中的抛物线上？若能，求出此时m的值．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，点B的坐标为（m，1）（m＞0），∴A（m，0），C（0，1）。
∵矩形OA′B′C′由矩形OABC旋转90°而成，∴A′（0，m），C′（－1，0）。（2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2＋bx＋c，
∵A（m，0），A′（0，m），C′（－1，0），
14
2
（3）∵点B与点D关于原点对称，B（m，1），∴点D的坐标为：（－m，
假设点D（－m，－1）在（2）中的抛物线上，
∴0=－（－m）2＋（m－1）×（－m）＋m=1，即2m2－2m＋1=0， ∵△=（－2）2－4×2×2=－4＜0，∴此方程无解。∴点D不在（2）中的
抛物线上。
26．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C． （1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一： ；结论二： ；结论三： ．
（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合）， ①求CE的最大值；②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长． 【答案】解：（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD。
（2）①∵∠B=∠C，∠B=45°，∴△ACB为等腰直角三角形。
∴AC?22BC?22?2?2。
∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD。∴AD：AC=AE：AD，∴AE?AD2AC?AD2 2?22AD 。
2当AD最小时，AE最小，此时AD⊥BC，AD=
12BC=1。∴AE的最小值为
22?1?222。
∴CE的最大值=
2?22?22。
18．如图，点M是反比例函数y＝
1
在第一象限内图象上的点，作MB⊥x轴于点B．过x
1
点M的第一条直线交y轴于点A1，交反比例函数图象于点C1，且A1C1＝A1M，
2△A1C1B的面积记为S1；过点M的第二条直线交y轴于点A2，交反比例函数图象 1
于点C2，且A2C2＝A2M，△A2C2B的面积记为S2；过点M的第三条直线交y
4
轴于点A3，交反比例函数图象于点C3，且A3C3＝
1
AM，△A3C3B的面积记为83
②当AD=AE时，∴∠1=∠AED=45°，∴∠DAE=90°。∴点D与B重合，不合题意舍去。 当EA=ED时，如图1，∴∠EAD=∠1=45°。∴AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC。∴BD=1。 当DA=DE时，如图2，∵△ADE∽△ACD，∴DA：AC=DE：DC。∴DC=CA=2。∴BD=BC－DC=2－2。
综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长的长为1或2－2。 福建宁德
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的
各边上，EF∥HG，EH∥FG，则四边形EFGH的周长是【 】
A．10 B．13 C．210 D．213 【答案】D。
S3；依次类推…；则S1＋S2＋S3＋…＋S8＝ ▲ ． 【答案】
255512。
25．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90o，小敏将一块三角板中含45o角的顶点放在点A处，从AB边开始绕点A顺时针旋转一个角?，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．
(1)小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠MAB，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；
(2)当0o＜?≤45o时，小敏在旋转的过程中发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2＋CE2＝DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：
小颖的方法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF(如图2)； 小亮的方法：将△ABD绕点A逆时针旋转90o得到△ACG，连接EG(如图3)． 请你从中任选一种方法进行证明；
(3)小敏继续旋转三角板，在探究中得出：当45o＜?≤135o且?≠90o时，等量关系BD＋CE＝DE
15
2
2
2
2
2
仍然成立．现请你继续探究：当135o＜?＜180o时(如图4)，等量关系BD＋CE＝DE是否仍然成立？若成立，给出证明：若不成立，说明理由．
2