甘肃白银27．如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，AE?延长DB到点F，使FB?
1212ED，
（1）证明：△BDE∽△FDA；（2）试判断BD，连接AF．
直线AF与⊙O的位置关系，并给出证明． 【答案】解（:1）证明：在△BDE和△FDA中，∵FB＝
12BD，AE＝
12ED，∴
BDFD?EDAD?23。
又∵∠BDE＝∠FDA，∴△BDE∽△FDA。 （2）直线AF与⊙O相切。证明如下：
A．
B．
C．
D．
连接OA，OB，OC，
∵AB＝AC，BO＝CO，OA＝OA， ∴△OAB≌△OAC（SSS）。∴∠OAB＝
∠OAC。
∴AO是等腰三角形ABC顶角∠BAC的
平分线。
∴AO⊥BC。
∵△BDE∽FDA，得∠EBD＝∠AFD，∴BE∥FA。 ∵AO⊥BE，∴AO⊥FA。∴直线AF与⊙O相切。
18．在－1，1，2这三个数中任选2个数分别作为P点的横坐标和纵坐标，过P点画双曲线y?kx【分析】如图，根据题意知，当点C在AB上运动时，DE是一组平行线段，线段DE从左向右运动先变长，当线段DE过圆心时为最长，然后变短，有最大值，开口向下。观察四个选项，满足条件的是选项A。故选A。
28．已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处． （1）求点C的坐标；
（2）若抛物线y?ax?bx(a?0)经过C、A两点，求此抛物线的解析式； （3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴
2，该双曲线位于第一、三象限的概率是 ▲ ．
由树状图可知，在－1，1，2这三个数中任选2个数分别作为P点的横坐标和纵坐标，符合要求的点有（－1，1），（－1，2），（1，－1），（1，2），（2，－1），（2，1）6种情况，双曲线位于第一、三象限时，xy?k＞0，只有（1，2），（2，1）符合xy?k＞0。∴该双曲线位于第一、三象限的概率是：
26?13。
26
的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯
形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）过C作CH⊥OA于H，
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，∴OA=23。 ∵将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处，
∴OC=OA=23，∠AOC=60°。∴OH=3，CH=3 。∴C的坐标是（3，3）。 （2）∵抛物线y?ax2?bx(a?0)经过C（3，3）、A（23，0）两点，
甘肃兰州15．在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y(单位N)
与铁块被提起的高度x(单位cm)之间的函数关系的大致图象是【 】
A．
∴???3=3a+3b??0=12a+23b B．
，解得???a=?1??b=23。∴此抛物线的解析式为y=?x2+23x
（3）存在。
∵y=?x2+23x的顶点坐标为（3，3），即为点C。
MP⊥x轴，设垂足为N，PN＝t，
∵∠BOA＝300，所以ON＝3t
∴P（3t, t）
作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E。
把x?3t代入y=?x2+23x得：y??3t2?6t。
∴ M（3t，?3t?6t），E（3，?3t?6t）。 同理：Q（3，t），D（3，1）。
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD，
1t1? 即3???3t?6?t?t?，解得：
222C． D．
【分析】根据浮力的知识，铁块露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水
面后y不变。
因为小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度。 故选C。
20．如图，M为双曲线y=3x上的一点，过点M作x轴、y轴
的垂线，分别交直线y＝－x＋m
于点D、C两点，若直线y＝－x＋m与y轴交于点A，与x轴相交于点B，则AD?BC的值为 ▲ ．
，t2?1（舍去）。
【分析】如图，作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，
在y＝－x＋m中，
令x＝0，则y＝m；令y＝0，－x＋m＝0，解得
x＝m。
27
43 ∴ P点坐标为（
433，43）。
∴ 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（
433，43）。
∴A(0，m)，B(m，0)。∴△OAB等腰直角三角形。 ∴△ADF和△CEB都是等腰直角三角形。
设M的坐标为(a，b)，则ab＝3，CE＝b，DF＝a。
∴AD＝2DF＝2a，BC＝2CE＝2b，∴AD?BC＝2a?2b＝2ab＝23。 甘肃兰州27．若x1、x2是关于一元二次方程ax＋bx＋c(a≠0)的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1＋x2＝?2
2
∴
b?4ac4a2=32?b?4aca2。∵b－4ac＞0，∴b－4ac＝12。
22
28．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y＝点B，且顶点在直线x＝
5223x2＋bx＋c经过
ba，x1?x2＝
ca上．
．把它称为一元二次方
(1)求抛物线对应的函数关系式；
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由； (3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；
(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求
2
程根与系数关系定理．如果设二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：AB＝|x1－x2|＝?x1+x2?24cb?4ac?b?=?4x1x2=????=2aaa??2
22b?4aca2。
参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y＝ax＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形． (1)当△ABC为直角三角形时，求b－4ac的值；(2)当△ABC为等边三角形时，求b－4ac的值．
【答案】解：（1）当△ABC为直角三角形时，过C作CE⊥AB于E，则AB＝2CE。 ∵抛物线与x轴有两个交点，△＝b－4ac＞0，则|b－4ac|＝b－4ac。 ∵a＞0，∴AB=b?4aca22
S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．
222
【答案】解：（1）∵抛物线y＝
23x2＋bx＋c经过点B(0，4)，∴c＝4。
52=b?4aca22。又∵CE=4ac?b4a2=b?4ac4a2，
∵顶点在直线x＝上，∴?b2?23=52，解得b=?103。∴
∴b?4aca2=2?b?4ac4a2。∴b2?4ac=b?4ac2，即b2?4ac=?b?4ac42?2。
所求函数关系式为y=23x?2103x+4。
∵b2－4ac＞0，∴b2－4ac＝4。
（2）当△ABC为等边三角形时，由(1)可知CE＝32（2）在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，
AB，
22∴AB=OA?OB?5。
∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝DA＝AB＝5。∴C、
D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，
28
当x＝5时，y=23?5?2103?5+4=4； 当x＝2时，y=23?2?2103点C和?2+4=0。∴
广东佛山10．如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转900到△A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】
A．π B．3 C．
3?4+32点D都在所求抛物线上。
D．
11?12+34
15．如图，边长为m?4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为 ▲
【分析】根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即
29
可得解：
设拼成的矩形的另一边长为x，则4x=（m＋4）2－m2=（m＋4＋m）（m＋4－
m）=8m＋16，解得x=2m＋4。
广东佛山24.规律是数学研究的重要内容之一． 初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面． 请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：
(1)写出奇数a用整数n表示的式子； (2)写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；
(3)函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律 下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：
由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5... 请回答：
当x的取值从0开始每增加当x的取值从0开始每增加
xi yi yi+1－yi
25.（1）按语句作图并回答：作线段AC（AC=4），以A为圆心a为半径作圆，再以C为圆心b为半径作圆（a＜4，b＜4，圆A与圆C交于B、D两点），连接AB、BC、CD、DA．
若能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足什么条件？ （2）若a=2，b=3，求四边形ABCD的面积．
【答案】解：（1）作图如下：能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足的条件
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12个单位时，y的值变化规律是什么？ 个单位时，y的值变化规律是什么？ 1 1 3 2 4 5 3 9 7 4 16 9 5 25 11 ... ... ... 1n0 0 1