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再进一步观察我们可以看出，求v的微分方程（即v'?M(x)v?0）其实就是求
y'?M(x)y?N(x)当N(x)＝0时的齐次方程。所以，我们可以直接先把非齐次方程当作齐次方程来解。即解出y'?M(x)y?0的解来。 得：
?M(x)dxy?Ce? (8)
?M(x)dx注意这里的Ce?并非最终答案，从上一步我们知道这其实是v而已。而最?M(x)dx终答案是u·v ，v仅是其中一部分。因此这里的Ce?并不是我们要的y，因此
还要继续。
把（8）式和上面提到的（7）式比较一下：
?M(x)dxy?ue? (7)
?M(x)dxy?Ce? (8)
（7）式是最终的结论，（8）式是目前我们可以到达的地方。那我们可以这样子
做：把（8）式的那个C换成u，再把这个u解出来，那么问题不就简单了吗？所谓的“常数变易法”就是这么来的，即把常数C硬生生地变成了u。接下来的事情就简
?M(x)dx?M(x)dx单多了，和前面是一个思路，把代换y?ue?代入（1）式，由于e?是一个
可以令那个分离不出变量的项被消掉的特解，因此即可知一定会解得
?M(x)dx?M(x)dxu'e??N(x)。从中解出u，再带回y?ue?便可得到最终答案。
常数变易法在这里并没有显出比变量代换法更好的优势（因为就是变量变换与常数变易法的正逆推导而已），但在解决高阶线性微分方程时就会方便得多。因此常数变易法与变量变换法在本质上是一样的，就看我们在什么地方用哪一个方法了。
从上面的一步步推导，可以总结为[4]：
对于一阶线性微分方程：
dy/dx=M（x）y+N（x） （1） 若Q（x）=0，则（1）变为：
dy/dx=M（x）y （2） 可知（2）为变量分离方程，所以可求得其通解为： y?ce?为此，令y?c(x)e? 微分之，得到
M(x)dx （3）
在（3）中，将常数c变易为x的待定函数c（x）使它满足（1），从而求出c（x）。
M(x)dx （4）
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)Mx(dx)dydc(x)?M(xdx?e?c(x)M(x)e? （5） dxdx将（4），（5）代入（1）中即可得到：
?M(x)dxdc(x)?N(x)e? dx从中可求得c（x），将c（x）代入（4）中即可得到方程（1）的通解。
这种将常数变易为待定函数的方法，我们就称之为常数变异法。 一般的高阶常微分方程没有统一，便捷的解法，处理问题的根本解决办法就是降阶，通过变换把高阶的常微分方程的求解问题变成较低阶的常微分方程来求解。特别的，对于二阶齐线性方程，如果能够知道它的一个非零特解，则可通过降阶求得与它线性无关的另一个特解，从而得到方程的通解，对于非齐次性方程，就需要再运用常数变易法求出它的一个特解，问题自然轻松地被解决了，因此，对于高阶常微分方程的求解问题的关键就在于寻找齐线性方程的一个非零特解。
1.2 本文的主要研究内容
首先，通过对常数变易法的背景、概念的进一步理解, 本文系统地分析了两类非线性常微分方程的各种性质并加以举例以方便理解。在一般的教材中，往往仅限于对于线性常微分方程的常数变易法，在此基础上，本文深入探讨了关于一阶非线性常微分方程和二阶非线性常微分方程的常数变易法，将所探讨的结果进行系统地分析、比较、归纳和总结并给出了每种解法的特点和使用条件。在实际的计算中，根据各种计算方法的特点和使用条件，合适地选择解法可使计算简化。其次，本文初步探讨了关于高阶非线性常微分方程的常数变易法问题。结合例题，本文指出在利用两类非线性常微分方程的解法的必要条件，并分析其中的原因并给出相应的解决方法。另外，关于两类非线性常微分方程的常数变易法的证明使得解法更加的容易理解，思路清晰。同时，分析了两类非线性常微分方程之间的联系，即降阶法。最后，我们可以得出我们做非线性常微分方程的方法可归结为：线性化，可积化，降阶化。希望上述工作能对进一步深入研究常数变易法的运用和广泛应用提供必要的准备。
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第2章 一阶非线性常微分方程的常数变易法与举例
本章分两节，第一节着重介绍关于一阶非线性常微分方程的常数变易法，第二节进行举例，以便能够更加了解解题得方法。然后将所探讨的结果进行分析、归纳和总结，并给出每种计算方法的特点和适用条件。
2.1 一阶非线性常微分方程的常数变易法
2.1.1 基本类型Ⅰ
我们知道可以通过常数变异法求解一阶线性常微分方程，而对于一阶非线性常微分方程的求解，还没有很统一，确切的解法，那我们是不是可以将常数变异法从线性常微分方程推广到非线性常微分方程上面呢？这一章我将会对这个问题进行探讨研究。并给出一些例子以用来验证。其中M（x），N（y），f（x，y）在所考虑的区间上是连续的，且f（x，y）?0。
一阶非线性常微分方程的一般形式为：
F（x，y，dy/dx）=0 （1）
如果能从（1）中求出dy/dx，并且dy/dx可以用下式来表示
dy/dx=M（x）N（y）+f（x，y） （2）
可以看出（2）式是可分离变量的常微分方程，所以（2）式就可以用常数变异法来求解。
方程dy/dx=M（x）N（y）是可分离变量的常微分方程，则我们分离变量可得：dy/N（y）=M（x）dx，两边积分可得出其通解，不妨设其通解为G（y）=??x，c?，其中c为任意实常数。然后我们就可得出（2）的通解为
y=G? ???x，c??? （3）
将（3）代入（2）中可得：
?1?c'(x)?c'(x)?N?G?1??x,c(x)?fx,G???????????x,c(x)????
?1这是一个关于未知函数c(x)的一阶常微分方程，如果这个方程是线性的或可分
离变量的，那么即可求出未知函数c（x），将c（x）代入（3）即可得出（2）的通解。
由上可见，常数变异法可以用来求解非线性常微分方程，但是并不是所有的非线性方程都可以用常数变异法来求解。那么还有有哪些非线性的常微分方程可以用常数变异法来求解呢？下面给出几种。
2.1.2 基本类型II
f'(y)y'?f(y)M(x)?fn(y)N(x) （4）
显而易见，方程f'(y)y'?f(y)M(x)?0是可分离变量的常微分方程，其通解为
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?M(x)dxf?y??ce?（此为隐函数的形式，不用解出y）。
设（4）的通解为
?M(x)dx f?y??c(x)e? （5）
代入（4）中可得：
?M(x)dx?nM(x)dxc'(x)e??cn(x)e?N(x)
这是一个可分离变量的常微分方程，其通解为：
(1?n)?M(x)dx?1?nN(x)edx c(x)?????????11?n （6）
将（6）代入（5）中即可得（4）的通解。
2.1.3 基本类型III
y'?M(x)y?ynN(x)
可知这是伯努利方程
?M(x)dx y'?M(x)y?0的通解为：f?y??ce? ?M(x)dx 设原方程的通解为f?y??c(x)e?
?M(x)dx?nM(x)dx?cn(x)e?N(x) 代入原方程可得：c'(x)e? 因其为可分离变量常微分方程，所以可求出c（x），伯努利方程可用常数变异法
来求解。
2.1.4 基本类型IV
y?yng(xy) xyc
y'??0的通解为y?
xx
c(x) 设原方程的通解为：y?
x y'?c'(x)cn(x)?ng?c?x?? 代入原方程可得：??可知其为可分离变量的常微分方程，可xx求出c（x）。因此这种方程可以用常数变异法来求解。
2.1.5 基本类型V
yy?yng() xxy y'??0的通解为：y?cx
x y'? 西南交通大学本科毕业论文 第7页 设原方程的通解为y?c(x)x
代入原方程可得：c'(x)x?cn(x)xng(c(x))
可知其为可分离变量的常微分方程，所以可以用常数变异法来求解。
2.1.5 基本类型VI[12]
若非线性常微分方程的形式为：
dy?M(x)y?N(x,y) dx 假设M（x），N（x，y）在所考虑的区间上连续，N（x，y）?0。 我们还可以推出下面三个定理：
dy?M(x)y?N(x,y)可用常数变异法求解的一个充分条件 一,一阶常微分方程dx是：N(x,y)?N(x)yn，n?Z，其中M(x)，N（x）在所考虑的区间上连续，N（x，y）
?0。
dy?M(x)y?N(x,y)可用常数变异法求解的一个充分条件dx1y是：M(x)?,N(x,y)?g()，其中N（x，y）在所考虑的区间上连续，，N（x，y）?0。
xxdy?M(x)y?N(x,y)可用常数变异法求解的一个充分条件 三，一阶常微分方程dx1yy是：M(x)?,N(x,y)?f(x)g()，其中f(x),g()在所考虑的区间上连续，N（x，y）
xxx?0。
以上只列举了八种求解方法，当然还有其他的一些方法。对于形如具有上述的形式即可通过各自的方法进行求解，因为并不是所有的非线性常微分方程均可以用常数变异法来求解。若不能通过这八种方法来求解，可以按照一的方法进行求解，先将方程转变为方程（2）的形式，如若可以，即可用常数变异法进行求解，不然则只有另寻它途。
二，一阶常微分方程
2.2 举例
通过2.1的方法，下面给出从上往下的依次举例，以便更加容易理解掌握上述方法，以使得将一阶非线性常微分方程的求解更加简便化。
2.2.1 基本方法Ⅰ
求解y'?(x2?y2?x)y?1
解：将原方程化成形如（2）的形式