西南交通大学本科毕业论文 第18页
3.2 举例
3.2.1：求解yy''?y'2?0
y'2解：原式可化为：y??
y''明显可知y?x是上面方程对应的方程：
y''?0的一个不恒为零的解。 令y?xu，则
y'?u(x)?xu'(x)，y''?xu''(x)?2u'(x)
代回到原式可得：
[u(x)?xu'(x)]2 xu(x)?2u(x)??xu(x)'''令z?u'(x)，则
[u(x)?xz]2 xz?2z??xu(x)'则通过一阶非线性方程的常数变易法即可得到方程的通解
y2?c1x?c2，也可由定理1得出。
3.2.2：求解yy''?y'2?yy'?1?0
1?y'2解：原式可化为：y?y?
y'''明显可知y?ex是上面方程对应的方程：
y''?y'?0的一个不恒为零的解。 令y?uex，则
y'?exu'(x)?exu(x)，y''?exu''(x)?2exu'(x)?exu(x)
代回到原式可得：
1?[exu'(x)?exu(x)]2 eu(x)?eu(x)??xeu(x)x''x' 西南交通大学本科毕业论文 第19页
令z?u'(x)，则
1?[z?u(x)]2 z?z??u(x)'则通过一阶非线性方程的常数变易法即可得到方程的通解
y2?2(x?c1)?c2ex，也可由定理2得出。
3.2.3：求解xy''?y'?0
y'1(c1?1)x解：原式可化为：y?y?e(c1?1)x[e?c2]?1
xc1?1''明显可知y?x是上面方程对应的方程：
y''?0的一个不恒为零的解。 令y?ux，则
y'?u(x)?xu'(x)，y''?xu''(x)?2u'(x)
代回到原式可得：
u(x)?xu'(x)xu(x)?2u(x)?
x'''令z?u'(x)，则
xz'?2z?u(x)?xz xxz'?2z?0的通解为：z?c x2c(x)代入原方程可得： x2c(x)c'(x)??u(x)
x可知其为可分离变量的常微分方程，所以可以用常数变异法来求解。
设原方程的通解为z?可得：c(x)??x(?xu'(x)?u(x)?c)则
?x(?xu'(x)?u(x)?c)z?
x2化简并代入z?u'(x)可得：
西南交通大学本科毕业论文 第20页
u(x)?c 2x可知可用常数变易法求解，求解可得：
u'(x)?u(x)?x?cx
又y?xu(x)则
y?xx?c1x2?c2
再将y?xx?c1x2?c2带回到原方程即可得到y?(c1?1)lnx?c2，也可由定理3得出。
3.2.4：求解y''?(??1)y?1y'2?0
解：原式可化为：y''?(1??)y?1y'2 明显可知y?x是上面方程对应的方程：
y''?0的一个不恒为零的解。 令y?ux，则
y'?u(x)?xu'(x)，y''?xu''(x)?2u'(x)
代回到原式可得：
[u(x)?xu'(x)]2 xu(x)?2u(x)?(1??)xu(x)'''令z?u'(x)，则
[u(x)?xz]2 xz?2z?(1??)xu(x)'则通过一阶非线性方程的常数变易法即可得到方程的通解
y??c1x?c2，也可由定理4得出。
3.2.5：求解(a?by)y''?by'2?0
by'2解：原式可化为：y??
a?by''明显可知y?x是上面方程对应的方程：
西南交通大学本科毕业论文 第21页
y''?0的一个不恒为零的解。 令y?ux，则
y'?u(x)?xu'(x)，y''?xu''(x)?2u'(x)
代回到原式可得：
b[u(x)?xu'(x)]2 xu(x)?2u(x)??a?bxu(x)'''令z?u'(x)，则
b[u(x)?xz]2 xz?2z??a?bxu(x)'则通过一阶非线性方程的常数变易法即可得到方程的通解
y(a?by)?c1x?c2，也可由定理5得出。
3.2.6：求解yy''?y'2?y2y'?0
y'2解：原式可化为：y??yy'
y''明显可知y?x是上面方程对应的方程：
y''?0的一个不恒为零的解。 令y?ux，则
y'?u(x)?xu'(x)，y''?xu''(x)?2u'(x)
代回到原式可得：
[u(x)?xu'(x)]2xu(x)?2u(x)??xu(x)[u(x)?xu'(x)]
xu(x)'''令z?u'(x)，则
[u(x)?xz]2xz?2z??xu(x)[u(x)?xz]
xu(x)'则通过一阶非线性方程的常数变易法即可得到方程的通解
y?e(c1?1)x[1(c1?1)xe?c2]?1，也可由定理6得出。 c1?1 西南交通大学本科毕业论文 第22页
结 论
本文重点探讨了一阶和二阶非线性常微分方程的常数变易法，即对两类方程进行系统地分析、比较、归纳、总结。针对两类方程，本文分别给出八种和是四种解题方法，每一个方法都有自己的特点。在实际计算过程中，需根据各类问题的特点，适当选择相应的解法可简化计算。
然后指出我们做非线性常微分方程的方法可归结为：线性化，可积化，降阶化。通过这三种方法可将一阶，二阶非线性常微分方程求解出来，甚至更高阶的非线性常微分方程求解得出，其中必不可少的一个方法就是常数变易法。