西南交通大学本科毕业论文 第8页 y'?xy?1?(x2?y2)y?1
y'?xy?1?0的通解为：x2?y2?c2 设原方程的通解为：x2?y2?c2(x) 代入原方程可得：c(x)c'(x)?c2(x) 即
dc(x)?dx，积分得：lnc(x)?x?lnc即c(x)?cex c(x)所以原方程的通解即为：
x2?y2?c2e2x。
2.2.2 基本方法Ⅱ
求方程y'?x?1ctyy?xcosy?ctyy的通解。 解：原方程可化为siny?y'?x?1cosy?xcos2y 即(cosy)'y'?x?1cosy??xcos2y（即为一的形式） (cosy)'y'?x?1cosy?0的通解为cosy?cx?1 设原方程的通解为cosy?c(x)x?1 代入原方程可得：x?1c'(x)??x?1c2(x)
c'(x) 即2??1积分得：?c?1(x)??x?c
c(x) 即c(x)?(x?c)?1
所以原方程的通解为
cosy?[x(x?c)]?1
2.2.3 基本方法Ⅲ
求解y'?yx?1?xexy2
西南交通大学本科毕业论文 第9页 解：y'?yx?1?0的通解为y? 设原方程的通解为y?c(x) xc x
代入原方程可得：c'(x)?exc2(x)
c'(x) 即2?ex，积分得：c?1(x)??ex?c即c(x)?(c?ex)?1
c(x)所以原方程的通解为
y?[x(c?ex)]?1
2.2.4 基本方法IV
x y?x22 求解y'?xy? 解：y'?xy?0的通解为y?ce 设原方程的通解为：y?c(x)e代入原方程可得
x22?x22c'(x)exx2e积分可得 c(x)?xx2?e c(x)2 即c'(x)?c(x)?2e
代入y?c(x)e?x22x2可得：
y?2e
x222.2.5 基本方法V
求解y'?yx?1?y?1secy x 解：y'?yx?1?0的通解为：y?cx
西南交通大学本科毕业论文 第10页 设原方程的通解为y?c(x)x
代入原方程可得：
c'(x)x?secc(x)?1 c(x)x分离变量可得：
c(x)cosc(x)dc(x)?x?2
积分得：
c(x)sinc(x)?cosc(x)??x?1?c
因为y?c(x)x所以将c(x)?yx?1代入上式可得原方程的通解：
yyy1sin?cos???c。 xxxx2.2.6 基本方法VI
dyy?1x2?1?x?y 求解：
dx22 解：方程
dyy?1?x的通解为：y?cx。 dx2 令y?c(x)x，代入到原方程可得：
dc(x)1c(x)xx2 x?c(x)??dx2x2x2c(x)x1xdx，此为可分离变量常微分方程，解得： 21c2(x)?x2?c
2 所以原方程的通解为：
1y2?x3?cx。
2 即：c(x)dc(x)?2.2.7 基本方法VII
dy?yx?1?2yx?1，x?0,x?0。 dxdy?yx?1的通解为：y?cx 解：方程dx 求解：
令y?c(x)x，代入到原方程可得：
西南交通大学本科毕业论文 第11页
dc(x)x?2c(x) dx1?1 即：c2(x)dc(x)?x?1dx，此为可分离变量常微分方程组，解之得：
2c(x)?(lnx?c)2(lnx?c?0)
2.2.8 基本方法VIII
ylnxdy?1 求解：?yx?ex
dx 解：方程
dy?yx?1的解为：y?cx dx 令y?c(x)x，代入到原方程可得：
dc(x)x?ec(x)lnx dx 即：e?c(x)dc(x)?x?1lnxdx，此为可分离变量常微分方程，所以可求出：
1c(x)??ln(c?ln2x)
2 代入原方程可求出：
1y??xln(c?ln2x)。
2 西南交通大学本科毕业论文 第12页
第3章 二阶非线性常微分方程的常数变易法与举例
3.1 二阶非线性常微分方程的常数变易法
3.1.1 二阶非线性常微分方程的一般形式与解法 二阶非线性常微分方程的一般形式为：
y''?P(x)y'?Q(x)y?f(x,y) （1） f(x,y)必须为非线性常微分方程。 设?(x)是方程（1）中对应的方程
y''?P(x)y'?Q(x)y?0 （2）
的一个不恒为零的解。 令y?u(x)?(x)，则有
y'?u'(x)?(x)?u(x)?'(x) y''?u''(x)?(x)?2u'(x)?'(x)?u(x)?''(x)
代人方程即得：
u''(x)?(x)?2u'(x)?'(x)?u(x)?''(x)?P(x)??u(x)?(x)?u(x)?(x)???Q(x)u(x)?(x)?f(x,y)''
化简可得：
''??(x)u''(x)??2?(x)?P(x)?(x)u??(x)????(x)?P(x)?(x)?Q(x)?(x)??u(x)?f(x,y)又?''(x)?P(x)?'(x)?Q(x)?(x)?0 所以上式可变为：
'''
''?(x)u''(x)???2?(x)?P(x)?(x)??u(x)?f(x,y)
再令z?u'(x)并代入上式可得：
'?(x)z'??2?(x)?P(x)?(x)? ??z?f(x,y) （3）
可知（6）为关于z的一阶非线性常微分方程，可用常数变易法对其进行求解，