西南交通大学本科毕业论文 第13页 对其积分可得u??zdx，再乘以?(x)即可得到（4）的通解：
y?u(x)?(x)???zdx??(x)
3.1.2 具有几个定理性质的可用常数变易法的方程
具有以下几个定理性质的方程均可以通过常数变异法进行求解[11]： 定理l 若f,g,w?C2,r?C1 ,则二阶非线性微分方程
?2f(x)w(y)?g(x)?w''(y)y'2??2f(x)w(y)?g(x)?w'(y)y''''''''?????2f(x)w(y)?2g(x)w(y)y?2f(x)w(y)y?????2 （1）
f''(x)w2(y)?g''(x)w(y)?r'(x)?0的通积分为
f(x)w2(y)?g(x)w(y)??r(x)dx?C1x?C2 （2）
其中C1,C2为任意常数。 在定理1中令w(y)?y，则有
推论1 若f,g?C2,r?C1，则二阶非线性微分方程
''''2?4f(x)y?2g(x)y?2f(x)y?2f(x)y?g(x)?y''?????f(x)y?g(x)y?r(x)?0''2'''
的通积分为
f(x)y2?g(x)y??r(x)dx?C1x?C2
其中C1,C2为任意常数。
[11]给出的6个定理以及推论均是由首次积分得出的，下面我用常数变易法的求
解方法来证明该方程是如何得出的。
证明:上式可变为
4f'(x)y?2g'(x)'g'(x)y?y?y?2f(x)y?g(x)2f(x)y?g(x)''r(x)2f(x)f(x)?y'2?y22f(x)y?g(x)2f(x)y?g(x)2f(x)y?g(x)在这里设?(x)是方程(1)中对应的方程：
''' (a)
西南交通大学本科毕业论文 第14页
4f'(x)y?2g'(x)'g'(x)y?y?y?0 (b)
2f(x)y?g(x)2f(x)y?g(x)''的一个不恒为零的解。 令y?u(x)?(x)，则有
y'?u'(x)?(x)?u(x)?'(x)y?u(x)?(x)?2u(x)?(x)?u(x)?(x)代入方程可得
''''''''
u''(x)?(x)?2u'(x)?'(x)?u(x)?''(x)?4f'(x)y?2g'(x)'g'(x)'?u(x)?(x)?u(x)?(x)??u(x)?(x)??2f(x)y?g(x)2f(x)y?g(x)r'(x)2f(x)??(u'(x)?(x)?u(x)?'(x))2f(x)y?g(x)2f(x)y?g(x)f''(x)?(xu(x))22f(x)y?g(x)化简可得：
?'?4f'(x)y?2g'(x)?(x)u(x)??2?(x)??(x)?u'(x)?2f(x)y?g(x)??''?''?4f'(x)y?2g'(x)'g'(x)?(x)??(x)??(x)u(x)??2f(x)y?g(x)2f(x)y?g(x)??
'r(x)2f(x)??(u'(x)?(x)?u(x)?'(x))2f(x)y?g(x)2f(x)y?g(x)f''(x)?(xu(x))22f(x)y?g(x)又因为?(x)是方程中对应的方程：
4f'(x)y?2g'(x)'g'(x)y?y?y?0
2f(x)y?g(x)2f(x)y?g(x)''的一个不恒为零的解。
4f'(x)y?2g'(x)'g'(x)所以 ?(x)??(x)??(x)?0
2f(x)y?g(x)2f(x)y?g(x)''代入化简所得的方程可得：
西南交通大学本科毕业论文 第15页
?'?4f'(x)y?2g'(x)?(x)u(x)??2?(x)??(x)?u'(x)2f(x)y?g(x)??r'(x)2f(x)??(u'(x)?(x)?u(x)?'(x)) 2f(x)y?g(x)2f(x)y?g(x)''f''(x)?(xu(x))22f(x)y?g(x)令z?u'(x)并代入上式可得：
?'?4f'(x)y?2g'(x)?(x)z??2?(x)??(x)?z2f(x)y?g(x)??r'(x)2f(x)??(u'(x)?(x)?u(x)?'(x)) （c） 2f(x)y?g(x)2f(x)y?g(x)'f''(x)?(xu(x))22f(x)y?g(x)在（c）中将u(x)当做已知函数，对（c）进行一阶非线性常微分方程的常数变易法求解，即可得出z，z为关于u(x)的函数，再将z?u'(x)代入即可得到u(x)，则
y?u(x)?(x)?(?zdx)?(x)
即可得到结论。
在3.2举例中的3.2.3给出具体步骤，以下推论均可用此方法退出,就不一一证明了。
定理2 若w?C2,f,g?C1,r?C,且f?0，则二阶非线性微分方程
f(x)w(y)w'(y)y''?f(x)w(y)w''(y)y'2?f(x)w'2(y)y'2?''''2??f(x)?2g(x)w(y)w(y)y?g(x)w(y)?r(x)?0?? （3）
的通积分为
g(x)g(x)??f(x)dx??r(x)dx?C12?f(x)dx?2? w(y)?ee?C2? （4）
f(x)????2?2其中C1,C2为任意常数。
在定理2中令w(y)?y，则有下面的推论。
推论2 若w?C2,f,g?C1,r?C,且f?0，则二阶非线性微分方程
'''2f(x)yy''?f(x)y'2???f(x)?2g(x)??yy?g(x)y?r(x)?0
西南交通大学本科毕业论文 第16页
的通积分为
g(x)g(x)?dx?2?dxr(x)dx?C?1?2f(x)f(x)?2y?ee?C2?
f(x)?????2其中C1,C2为任意常数。
定理3 若w?C2,f,g?C1,且f?0,g?0，则二阶非线性微分方程
'''2''''''???f(x)?w(y)y?w(y)y?f(x)w(y)?g(y)y（5） ?????0
的通积分为
?其中C1,C2为任意常数。
dxdw(x)（6） ???C2
f(x)C1?g(x)在定理3中令w(y)?y，则有下面的推论。
推论3 若w?C2,f,g?C1,且f?0,g?0，则二阶非线性微分方程
'''?f(x)y''??f(x)?g(y)y???0
的通积分为
?其中C1,C2为任意常数。
dxdy???C2 f(x)C1?g(y)定理4 若w?C2,?为非零常数，则二阶非线性微分方程
w??1(y)w'(y)y''?w??1w''(y)y'2?(??1)w??2(y)w'2(y)y'2?0 (7)
的通积分为
w?(y)?C1x?C2 (8)
其中C1,C2为任意常数。
在定理4中令w(y)?y，则有下面的推论。 推论4 若?为非零常数，则二阶非线性微分方程
y??1y''?(??1)y??2y'2?0
的通积分为y??C1x?C2。
西南交通大学本科毕业论文 第17页
其中C1,C2为任意常数。
定理5 若w?C2,a,b为非零常数，则二阶非线性微分方程
?a?bw(y)?w'(y)y''??a?bw(y)?w''(y)y'2?bw'2(y)y'2?0 （9）
的通积分为
（10） w(y)?2a?bw(y)??C1x?C2
其中C1,C2为任意常数。
在定理5中令w(y)?y，则有下面的推论。 推沦5 若a,b为非零常数，则 二阶非线性微分方程
(a?by)y''?by'2?0
的通积分为y(2a?by)?C1x?C2，其中C1,C2为任意常数。 定理6 若w?C2,f,g?C1，则二阶非线性微分方程 的通积分为
?C1?g(x)?dx???C1?g(x)?dxdx?C? f(x)e w(y)?e?（12） 2??????1w(y)w''(y)y'2?w(y)w'(y)y''?w'2(y)y'2?f(x)w2(y)w'(y)y'?f(x)w(y)?g(x)w(y)?0'3'2 （11）
其中C1,C2为任意常数。
在定理6中令w(y)?y时，则有下面的推论。 推论6 若f,g?C1，则二阶非线性微分方程
yy''?y'2?f(x)y2y'?f'(x)y3?g'(x)y2?0
的通解为
?C1?g(x)?dx???C1?g(x)?dxdx?C? y?e?f(x)e2??????1其中C1,C2为任意常数。