2?x2x2（C）
?10dy?y2?yf(x,y)dx； （D）?dy?f(x,y)dx。
?114、设?1:x2?y2?z2?R2,z?0; ?2:x2?y2?z2?R2,x?0,y?0,z?0， 则有（ ） （A） （C）
???xdv?4???xdv；
?1?2?2 （B）
???ydv?4???ydv；
?1?2?1?2???xyzdv?4???xyzdv； （D）???zdv?4???zdv。
?15、设?为由曲面z?x2?y2及平面z?1所围成的立体的表面，则曲面积分
??(x?2?y2)ds=（ ）
（A）
?21?2?； （D）0 。 ?； （B）； （C）
222６、设?是球面x2?y2?z2?a2表面外侧，则曲面积分
??xdydz?ydzdx?zdxdy＝（ ）
?333 （A）
1212412?a3； （B）?a5； （C）?a5； （D）??a5。 5555xlnx，则
x?ylnx７、一曲线过点(e,1)，且在此曲线上任一点M(x,y)的法线斜率k??此曲线方程为（ ）
xx?xln(lnx)； （B）y??xlnx； eex（C）y?ex?xln(lnx)； （D）y??ln(lnx)。
e（A）y?８、幂级数
?(n?1)xn?1?n的收敛区间为（ ）
（A）（-1，1）； （B）(??,??)； （C）（-1，1）； （D）[-1，1]。
三、（１０分）已知函数u?yf()?xg()，其中f,g具有二阶连续导数，求
xyyx?2u?2u x2?y的值。
?x?y?x
11
四、（１０分）证明：曲面xyz?c3(c?0)上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的
体积为一定值。
五、（１４分）求抛物面z?4?x2?y2的切平面?，使得?与该抛物面间并介于柱面
(x?1)2?y2?1内部的部分的体积为最小。
六、（１０分）计算I??L(exsiny?y)dx?(excosy?x)dy，其中Ｌ为y??4?x2由Ａ（２，０）至Ｂ（－２，０）的那一弧段。
七、（８分）求解微分方程y???
2y?2=0 。 1?yxn 八、（８分）求幂级数?的和函数S(x)。
n?1n?
12
高等数学（下册）试卷（五）
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、设z?f(x,y)是由方程z?y?x?xez?y?x?0所确定的二元函数，则
dz? 。
?x2?y2?z2?3x?0２、曲线?在点（１，１，１）处的切线方程是 。
2x?3y?5z?4?0?３、设?是由x2?y2?z2?1，则三重积分
???edv＝ 。
?z４、设f(x)为连续函数，a,m是常数且a?0，将二次积分
化为定积分为 。 ５、曲线积分
?a0dy?em(a?x)?f(x)dx
0y?L(AB)Pdx?Qdy与积分路径L(AB)无关的充要条件为 。
６、设?为z?a2?x2?y2，则??(x2?y2?z2)ds? 。
?７、方程y??3y?e2x的通解为 。 ８、设级数
?an?1?n收敛，
?bn?1?n发散，则级数
?(an?1?n?bn)必是 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）
?x2y,?22１、设f(x,y)??x?y?0,?(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)，在点（０，０）处，
下列结论（ ）成立。
（Ａ）有极限，且极限不为0； （Ｂ）不连续； （Ｃ）fx?(0,0)?fy?(0,0)?0； （Ｄ）可微。
?2f２、设函数z?f(x,y)有且f(x,0)?1，f?y(x,0)?x，则f(x,y)=（ ） ?2，2?y（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 1?xy?y；1?xy?y；1?xy?y；1?xy?y。
22３、设Ｄ：1?x?y?4，f在D上连续，则
222222??Df(x2?y2)d?在极坐标系中等
于（ ） （Ａ）2??21rf(r)dr； （Ｂ）2?10?21rf(r2)dr；
2100（Ｃ）2?[?20 r2f(r)dr??r2f(r)dr]； （Ｄ）2?[?rf(r2)dr??rf(r2)dr]。
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４、设?是由x?0,y?0,z?0及x?2y?z?1所围成，则三重积分
???xf(x,y,z)dv?(?)
（Ａ）
?10dx?1?y20dz?1?x?2y0xf(x,y,z)dy；
（Ｂ）
??1010dx?dy?011?x?2y0xf(x,y,z)dz；
xf(x,y,z)dz；
（Ｃ）
dx?1?x20dy?11?x?2y0（Ｄ）
?10dx?dy?xf(x,y,z)dz。
001５、设?是由x?0,y?0,z?0,x?1y?1,z?1所围立体表面的外侧，则曲面积分
??xdydz?ydzdx?zdxdy?(?)
（Ａ）0； （Ｂ）1； （Ｃ）3； （Ｄ）2。 ６、以下四结论正确的是（ ）
（Ａ）
42225； (x?y?z)dv??a???3x2?y2?z2?a2（Ｂ）
x2?y2?z2?a2???x2?y2?z2?ds?4?a4;
（Ｃ）
22x?y?z2?a2外侧??(x2?y2?z2)dxdy?4?a4；
（Ｄ） 以上三结论均错误。
７、设g(x)具有一阶连续导数，g(0)?1。并设曲线积分
(,)44(0,0)?Lyg(x)tanxdx?g(x)dy )
??与积分路径无关，则
?yg(x)tanxdx?g(x)dy?(（Ａ）
?2222?； （Ｂ）??； （Ｄ）??； （Ｃ）?。 2828(?1)n?1８、级数?的和等于（ ） n?12n?1（Ａ）2/3；（Ｂ）1/3； （Ｃ）1； （Ｄ）3/2。
三、求解下列问题（共计１５分）
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１、（８分）设u?xy,求
z?u?u?u。 ,?x?y?z２、（７分）设u?f(,)，f具有连续偏导数，求du。
四、求解下列问题（共计１５分）
１、（８分）计算I?
２、（７分）计算I?xyyzaf(x)?bf(y)d?，其中D:x2?y2?R2。 ??f(x)?f(y)D???(x?y?z?1)dv，其中?:x?2?y2?z2?R2。
五、（１５分）确定常数?，使得在右半平面x?0上，
?
L 2xy(x4?y2)?dx?x2(x4?y2)?dy与积分路径无关，并求其一个原函数u(x,y)。
六、（８分）将函数f(x)?
1?x展开为x的幂级数。
(1?x)3七、（７分）求解方程y???6y??9y?0。
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