即
f?(x)?f?(0) 21?f(x)fn(x)?f?(0)?x?c即 f(x)?tan[f?(0)x?c] ?arcta又 f(0)?0 即c?k?,k?Z ?f(x)?tanf(?(0)x)
t2n?1 七、令x?2?t，考虑级数?(?1)
2n?1n?1?nt2n?3?3?t2 ?lim2n2nn??t?12n?1?当t2?1即t?1时，亦即1?x?3时所给级数绝对收敛；
当t?1即x?3或x?1时，原级数发散；
当t??1即x?1时，级数
?(?1)n?1n?1?1收敛； 2n?1当t?1即x?3时，级数
?(?1)nn?1?1收敛； 2n?1?级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。
高等数学（下册）试卷（二）参考答案
一、1、1； 2、-1/6； 3、
?20dy?yy/2f(x,y)dx??dy?242y/2f(x,y)dx ； 4、
2f?(0)； 35、?8?； 6、2(x?y?z)； 7、y???y??2y?0； 8、0； 二、1、C； 2、B； 3、A； 4、D； 5、C； 6、D； 7、B； 8、C； 三、1、函数u?ln(x?y2?z2)在点A（1，0，1）处可微，且
?u?x?u?y?u?zA?1x?y?z1x?y?z1x?y?z222222(1,0,1)?1/2；
A??yy?zzy?z22(1,0,1)22(1,0,1)?0；
A???1/2
21
而l?AB?(2,?2,1),所以l?(,?
?2321,),故在A点沿l?AB方向导数为： 33?u?zA?u?lA??u?xA?cos?+
?u?yA?cos?+?cos?
?12211??0?(?)???1/2. 23323??fx??2xy(4?x?y)?xy(?1)?02、由?得D内的驻点为M0(2,1),且f(2,1)?4， 2??fy?x(4?x?2y)?0 又f(0,y)?0,f(x,0)?0
而当x?y?6,x?0,y?0时，f(x,y)?2x3?12x2(0?x?6)
令(2x3?12x2)??0得x1?0,x2?4
于是相应y1?6,y2?2且f(0,6)?0,f(4,2)??64.
?f(x,y)在D上的最大值为f(2,1)?4，最小值为f(4,2)??64.
?0?x?四、1、?的联立不等式组为?:?1?0?y?x?1
??0?z?1?x?y所以I??11?x?ydz0dx?1?x0dy?0(1??x?y?z)3 ?112?0dx?1?x110[(1?x?y)2?4]dy ?112?0(1x?1?3?x154)dx?2ln2?16 2、在柱面坐标系中
F(t)??2?th22t20d??0dr?0[z?f(r)]rdz?2??0[hf(r)r?13h3r]dr
所以
dF?2?[hf(t211dt)t?3h3t]?2?ht[f(t2)?3h2]
?五、1、连接OA，由Green公式得：
I??L??OA??OA??L?OA??OA
Green?公式x??(excosy?excosy?m)dxdy?0 2?y2?ax,y?0 22
1?m?a2 82、作辅助曲面?1:? I??z?a?x?y?a???1222 ，上侧，则由Gauss公式得：
??+????122???=
?1?????
?1 =
x?y?z2,0?z?a???2(x?y?z)dxdydz?x2?y2?a22a??dxdy
=2?a0dzax2?y2?z2??zdxdy??a4
?2?0?z3dz??a4???a4
12六、由题意得：3??(x)?2?(x)?xe2x????(x)
即???(x)?3??(x)?2?(x)?xe2x 特征方程r?3r?2?0，特征根r1?1,对应齐次方程的通解为：y?c1ex?c2e2x
*2x又因为??2是特征根。故其特解可设为：y?x(Ax?B)e
2r2?2
代入方程并整理得：A?即 y?*1,2B??1
1x(x?2)e2x 2x2x故所求函数为：?(x)?c1e?c2e?1x(x?2)e2x 2高等数学（下册）试卷（三）参考答案
一、1、yey2z2?xex2z2； 2、5； 3、
?1?1dx?1?x2?1?x2dy?1?x2?y20f(x,y,z)dz；
4、f(0,0); 6、???(5、2?a3；
??P?Q?R??)dv???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy， ?x?y?z???Gauss公式； 7、Ax2?Bx?C 8、P?0。
二、1、C； 2、B； 3、A ； 4、C ； 5、A ； 6、D ； 7、B ； 8、B 三、由于dy?fx?(x,t)dx?ft?(x,t)dt，Fx?dx?Fy?dy?Ft?dt?0
23
由上两式消去dt，即得：
dyfx??Ft??ft?Fx? ????dxFt?ftFy四、设(x,y)为椭圆x2?4y2?4上任一点，则该点到直线2x?3y?6?0的距离为
d?6?2x?3y13 ；令L?(6?2x?3y)2??(x2?4y2?4)，于是由：
?Lx??4(6?2x?3y)?2?x?0? ?Ly??6(6?2x?3y)?8?y?0 ?22?L??x?4y?4?083838383得条件驻点：M1(,),M2(?,),M3(?,?),M4(,?)
35555555 依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中dmin?6?2x?3y13M1?13即为所求。 1322??z?x?y五、曲线?在yoz面上的
22??x?y?2y?z2?2y投影为??x?0(0?y?z)
于是所割下部分在yoz面上的投影域为：
??0?y?2Dyz:?， y 0?z?2y??由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍。 A?2Dyz??1?(?x2?x)?()2d? x ?y?z ?2Dyz??dydz2y?y2?2?dy?122y0dz2y?y2?8
2222六、将?分为上半部分?1:z?1?x?y和下半部分?2:z??1?x?y，
?1,?2在面xoy上的投影域都为：Dxy:x?y?1,x?0,y?0, 于是：
22??xyzdxdy??1Dxy??1?x2?y2dxdy
1； 15 ?极坐标??02d???2sin?cos??1??2??d??01 24
??xyzdxdy???xy(?1?x2?y2)(?dxdy)?115， ?2Dxy ?I???????=
21?215 七、因为
df(cosx)d(cosx)?1?sin2x，即f?(cosx)?1?sin2x
所以f?(x)?2?x2 ?f(x)?2x?13x3?c 八、?f(x)?ln[(1?x)(1?x2)]?ln(1?x)?ln(1?x2)
? 又ln(1?u)??(?1)n?1 un,u?(?1,n?1n1]
??f(x)??(?1)n?1n???(?1)n?1xx2n,x?(?1,1] n?1nn?1n? ??(?1)n?1xn(1?xnx?(?1,1]
n?1n),高等数学（下册）试卷（四）参考答案
一、1、dx?2dy；2、x?2y?3z?6； 3、
153220； 4、32?； 5、
2?；6、2?a33； 7、y?2(2?x)e?x；
8、a1?f(x)21?0?????2dx；ak?????f(x)coskxdxk?1,2,?n,? b1?k?????f(x)sinkxdxk?1,2,?n,?
二、1、C； 2、C； 3、A； 4、D； 5、A； 6、B； 7、A； 8、C 三、??uxy?x?f?(y)?g(x)?yxg?(yx) ??2 u1xyyyyy2y?x2?yf??(y)?x2g?(x)?x2g?(x)?x3g??(x)
? 1y??(xy)?y2fyx3g??(x) 25