yy?2uxx1y1y ??2f??()?g?()?g?()?2g??()
xx?x?yyxxxxy ??yyxx?????g() f()22xxyy?2u?2u 故x2?y?0
?x?y?x四、设M(x0,y0,z0)是曲面F?xyz?c3?0上的任意点，则x0y0z0?c3，
在该
n?(Fx?,Fy?,Fz?)M111c3c3c3?(y0z0,z0x0,x0y0)?(,,)?c3(,,)
x0y0z0x0y0z0111(x?x0)+(y?y0)+(z?z0)=0 x0y0z0于是曲面在M点处的切平面方程为：
即
xyz++=1 3x03y03z01993x0?3y0?3z0?x0y0z0?c3 622因而该切平面与三坐标面所围成的立体的体积为：
V?这是一个定值，故命题得证。
2222五、由于介于抛物面z?4?x?y，柱面(x?1)?y?1及平面z?0之间的立体体积
22为定值，所以只要介于切平面?，柱面(x?1)?y?1及平面z?0之间的立体体积V为最大即可。
设?与z?4?x2?y2切于点P(x0,y0,z0)，则?的法向量为n?(2x0,2y0,?1)，且
22z0?4?x0?y0，切平面方程为：2x0(x?x0)?2y0(y?y0)?(z?z0)?0
即z?2x0x?2y0y?4?x0?y0
?22 于是V?(x?1)2?y2?1??zd?极坐标?222??222?（2x0?cos??2y0?sin??4?x0?y0)d?
??(2x0?4?x0?y0)
26
??V??x??(2?2x0)?0?0 则由?，得驻点（1，0）
??V??2?y0???y0 且V(1,0)?5?,z0?5.
由于实际问题有解，而驻点唯一，所以当切点为（1，0，5）时，题中所求体积为最小。此时的切平面?为：z?2x?3 六、联接BA，并设由L及BA所围成的区域为D，则
I??L??BA2??BA??L?BA??BAGreen公式???(excosy?1?excosy?1)dxdy?0D ?2???2?4? 七、令y??z(y)，则y???z12dz22dz?z?0 ，于是原方程可化为：zdy1?ydy2??dydz21?y 即??0，其通解为z?c1e?c1(y?1)2
dy1?y ?dydy?c1(y?1)2 即?c1dx dx(y?1)2故原方程通解为：y?1?1
c1x?c2八、易求得该幂级数的收敛区间为(?1,1).
??1xnxn ?x?(?1,1)，令S(x)??，则S?(x)??()???xn?1?1?xn?1n?1nn?1n?注意到S(0)?0，?S(x)??x0S?(x)dx??dx??ln(1?x) 01?xx高等数学（下册）试卷（五）参考答案
ax?1y?1z?1dx?(1?xez?y?x)dym(a?x)2???一、1、；2、；3、；4、 ef(x)(a?x)dx；z?y?x?0169?11?xe 5、对任意闭曲线l，Pdx?Qdy?0或
l??P?Q?或?u(x,y),使得du?Pdx?Qdy； ?y?x 27
4 6、2?a； 7、y?ce?3x1?e2x； 8、发散 5二、1、C； 2、B； 3、A； 4、C； 5、C； 6、B； 7、D； 8、A 三、1、
zzz?u?u?u?yzxy?1；?yzxylnx?lny ?xyyz?1zlnx；?x?z?y2、??u1?f1??xy?ux1??2f1??f2??yzy?uy??2f2? ?zz ?du??u?u?u1x1ydx?dy?dz?f1?dx?(?2f1??f2?)dy?2f2?dz。 ?x?y?zyzyz四、1、因为积分域D关于y?x对称，所以
I???Daf(x)?bf(y)af(y)?bf(x)d????d?
f(x)?f(y)f(y)?f(x)D1af(x)?bf(y)af(y)?bf(x)[??d????d?] 2Df(x)?f(y)f(y)?f(x)D故I? = 2、I?112； (a?b)d??(a?b)?R??2D2222(x?y?z)dV?2???x(y?z?1)dV?2???yzdV ??????+2???ydV?2???zdV????dV
??? 因为?关于三个坐标轴都对称，而2xy,2yz,2zx,2x,2y,2z都（至少）关于某个变
量为奇函数，故以这些项为被积函数的三重积分都等于0。于是：
I?432222?3zdV??R (x?y?z)dV?dV?????????3??? ?6?R0dz43432zdxdy??R??R(1?R2)。 ??33x2?y2?R2?z22?242?五、令P?2xy(x?y),Q??x(x?y) 则
4?P?2x(x4?y2)??4?xy2(x4?y2)??1，?y?Q??2x(x4?y2)??4?x5(x4?y2)??1 ?x 由已知条件得
?Q?P42?，即有(x?y)(??1)?0，所以???1 ?x?y28
所求的一个原函数为 ： u(x,y)??(x,y)2xyx2(1,0)x4?y2dx?x4?y2dy ??xy210dx??xy0x4?y2dy??arctanx2 六、易知
1?x2?(1?x)(1?x)3?21(1?x)3?(1?x)3?(1?x)2 ? 又1??xn1?x(?1?x?1)
n?0 ?11?n?(1?x)2?(1?x)???nx1 n?1 1(1?x)3?(1?(1?x)2)???n(n?1)xn?2??n?2?(n?1)nxn?1 n?1 ?1?x?(1?x)3??(n?1)nxn?1?x?1)n?1???nxn?1?n?1 ， 其中
(?1?n?1?n2xn?1七、方程的特征方程为：r2?6r?9?0，其特征根为r1?r2?3，
故方程的通解为：y?(c3x1?c2x)e
高等数学（下册）试卷（六）参考答案 一、单选题（共15分，每小题3分）：1.C 2 D 3 C 4B 5 A 二、填空题（共15分，每小题3分） ??1.-1 2. I??1dye(x,y)dx 3. ?2i?4j?2k?? 4 ?(?1)nxn?10?eyf n?0n!5. (2,2)
三、解答题（共54分，每小题6--7分）
1．解：?zy2?x??x2?y2; (3分) ?z?y=arctanyxyx+x2?y2 ( 6分).
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?2. 解：记切点(x0,y0,z0) 则切平面的法向量为n?2(2x0,3y0,z0)满足：
2x03y0z0?? ，切点为：切平面：4(1,?1,2)或(?1,1,?2) (3分)，2x?3y?2z?9or?9 ( 2?32x?1y?1z?2x?1y?1z?2????分)， 法线方程分别为：或者 ( 6分) 2?322?323. 解：?f(1,2)?(2,4) ( 3分),
?f(1,2)??1?23 ( 7分) ?l4. 解：f(x)?111=?, ( 2分)
x?33?(x?3)31?()3xn?1，x?(?1,1),所以1?x因为
?(?1)n?0?n1?3?1x?3n?x?31n1??(?1)?()=?(?1)n()n?1(x?3)n,其中?1??1 ，即x?33333n?01?()n?030?x?6.( 5分)
?11当x?0时，级数为?发散；当x?6时，级数为?(?1)n?发散,故
3n?03n?0?1?1=?(?1)n()n?1(x?3)n，x?(0,6)， ( 7分) xn?034x??z???x1?2z?8y?0?5. 解：由?, 得到x?0与y?2z?0, ( 2分)
??z?4(y?2z)?0???y1?2z?8y 再代入2x2?2y2?z2?8yz?z?8?0，得到7z?z?8?0即z?1,?由此可知隐函数z?z(x,y)的驻点为(0,?2)与(0,28。 716)。 ( 4分) 7?2z4?2z?2z416?0，2?由2?，，可知在驻点(0,?2)与(0,)有H?0。( 5分)
7?x1?2z?8y?x?y?y1?2z?8y?2z4?0，所以(0,?2)为极小值点，极小值为z?1；( 6在(0,?2)点，z?1，因此 2??x15分)
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