第八章 无穷级数
本章知识结构导图
定义法判别级数的收敛性常数项级数正项级数及收敛性判别法交错级数、绝对收敛、条件收敛幂级数的概念，收敛半径，收敛区域的求法无穷级数幂级数幂级数的性质级数在近似计算中的举例函数的幂级数展开无穷级数在经济学中的应用：银行复利问题 §8.2 常数项级数
一、常数项级数的概念
在初等数学中知道: 有限个实数u1,u2,?,un相加, 其结果是一个实数. 本章将在这个基础上继续推广, 讨论“无限个实数相加”所可能出现的情形及其有关特性.
一、定义：
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【定义 1】 设有一个无穷数列 u1,u2,?,un,?, 则称
u1?u2???un?? (1)
为常数项级数或无穷级数（也常简称级数）, 其中un称为常数项级数(1)的通项. 常数项级数(1)也常写作
?un?1?n或简单写作
?un.
作常数项级数(1)的前n项之和
Sn?u1?u2???un??uk
k?1nSn称为级数(1)的第n个部分和, 也简称部分和. 当n依次取1,2,3,?时, 它们构成一个
新的数列:
S1?u1,S2?u1?u2,S3?u1?u2?u3,?,Sn?u1?u2???un,?. □
Sn?S）, 则【定义2】 若常数项级数(1)的部分和数列?Sn?收敛于S（即limn??称常数项级数(1)收敛, 称S为常数项级数(1)的和, 即S?u1?u2???un??或若部分和数列?Sn?是发散的, 则称常数项级数(1)发散.
?un;
□
【例1】 判断以下级数是否收敛, 若收敛求出其和. (1) 1?2?3???n?? (2)
111?????? 1?22?3n(n?1)n(n?1), 2【解】 (1) 这个级数的部分和为 Sn?1?2?3???n?显然有limSn???, 因此所给级数是发散的.
n?? (2) 由于这个级数的部分和为
Sn?11111??1??11??1?1?, ??????1????????????n?11?22?3n(n?1)?2??23??nn?1?第2页, 共31页
从而 limSn?lim?1?n???n???1???1. n?1?故这个级数是收敛的, 它的和是1.
□
【例2】 讨论几何级数（也称为等比级数）:
?aqn?0?n?a?aq?aq2???aqn??(a?0)的敛散性.
n【解】 作Sn??aqi?0i?a?aq?aq2???aqn,
a(1?qn)aaqn若q?1, 则Sn?. ??1?q1?q1?q下面考虑limSn的问题:
n???aaqn?a 若q?1, 即当n??时, q?0, 则limSn?lim?; ???n??n??1?q1?q1?q??n 若q?1, 即当n??时, qn??, 故limSn不存在;
n??若q?1, 当n??时, Sn?na??, 故limSn不存在;
n??若q??1, 当n??时, Sn???0,n为偶数?a,n为奇数 , 故limSn不存在;
n???a,q?1?aaqn??综上所述, limSn?lim?. ????1?qn??n??1?q1?q???不存在,q?1?□
注1 当级数收敛时, 其部分和Sn是级数的和S的近似值, 它们之间的误差为:
rn?S?Sn?un?1?un?2??
叫做级数(1)的余项. □ 注2 级数与数列极限有着紧密的联系. 给定级数
?un?1?n, 就有部分和数列
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n???Sn??uk?; 反之, 给定数列?Sn?, 就有以?Sn?为部分和数列的级数
k?1????S1??S2?S1?????Sn?Sn?1????S1???Sn?Sn?1???un
n?2n?2其中 u1?S1,un?Sn?Sn?1?n?2?. 因此, 级数
??n?un?1?n与数列?Sn?同时收敛或同时发散,
且在收敛时, 有
?un?1n?limSn, 即?un?lim?uk. □
n??n?1n??k?1基于级数与数列极限的这种关系, 我们不难根据数列极限的性质推出下面有关级数的一些性质.
二、性质
【性质 1】 若级数?un与?vn分别收敛于u和v, c,d为常数, 则由它们的项的
线性组合所得到的级数
??cun?dvn?也收敛, 且
??cun?dvn??c?un?d?vn?cu?dv, 即其和为cu?dv.
*【证】 设
?un的部分和是Sn,
?vn的部分和为Sn?, 则有
limSn?u,limSn??v
n??n??则级数
??cun?dvn?的部分和为
?n??cu1?dv1???cu2?dv2?????cun?dvn?
?c?u1?u2???un??d?v1?v2???vn??cSn?dSn?
所以lim?n?limcSn?dSn??cu?dv.
n??n????这就表明级数
??cun?dvn?也收敛, 且其和为cu?dv.
□
【性质 2】 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性.
*【证】 我们只需证明“在级数的前面部分去掉或加上有限项, 不会改变级数的敛散性”, 则其他情形可以类似证明.
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设将级数u1?u2???uk?uk?1???uk?n??的前k项去掉, 则得到级数
uk?1?uk?2??uk?n??
于是新得到的级数的部分和为
?n?uk?1???uk?n?Sk?n?Sk,
其中Sk?n为原级数的前k?n项的和. 由于Sk为常数, 所以当n??时, ?n与Sk?n或者同时具有极限, 或者同时没有极限.
同理可以证明在级数的前面加上有限项, 不会改变级数的收敛性.
注3 由此可见, 一个级数是否收敛与级数前面有限项的取值无关. 但是对于收敛级数来说, 去掉或增加有限项后, 级数的和一般是发生了变化的.
□
【性质3】 在收敛级数的项中任意加括号, 既不改变级数的收敛性, 也不改变它的和.
注4 需要注意的是, 从级数加括号后的收敛性, 不能推断它在未加括号前也收敛. 例如, ?1?1???1?1?????1?1????0?0???0???0 收敛, 但级数1?1?1?1??却是发散的.
un?0. 【性质4】 （收敛级数的必要条件）: 若级数?un收敛, 则有limn??*【证】 设级数
?un收敛, 其和为u, 显然 un?Sn?Sn?1 (n?2)
于是limun?lim?Sn?Sn?1??u?u?0.
n??n??□
注5 性质4的逆命题是不成立的. 即有些级数虽然通项趋于零, 但仍然是发散的. 【例3】 证明调和级数
1?111?????? 是发散的. 23n*【证】 这里调和级数虽然满足推论的结论, 即limun?limn??1?0, 但是它是发散n??n的. 我们用反证法来证明.
假设级数(2)收敛, 设它的第n个部分和为Sn, 且Sn?S ?n???, 显然, 对级
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