则 R?limn??anan?11n2n?1?(n?1)2?n?lim?lim?2 nn??n??12?nn?12?(n?1)所以收敛半径为R?2, 收敛区间为t?2, 即?1?x?3.
当x?3时, 原级数成为
1, 发散; ?n?1n??(?1)n当x??1时, 原级数成为?, 收敛.
nn?1因此原级数的收敛域为??1,3?.
2．幂级数的性质
设幂级数
?axnn?0?n (9) 的收敛区域为??R1,R1?, 和函数为S1?x?, 即
S1(x)??anxnn?0?n??x?R?
1又设幂级数
?bx. (10)
nn?0的收敛区域为??R2,R2?, 和函数为S2?x?, 即S2(x)?则幂级数有如下一些性质:
?bx?x?R?,
nn2n?0?【性质1】 两个幂级数在公共的收敛区域内, 其和或差也是收敛的, 并和函数为相对
应的两个和函数的和与差. 即 设R?min{R1,R2}, 则
????ax??bx??(annnnn?0n?0n?on?bn)xn?S1(x)?S2(x),
x?R.
【性质2】 两个幂级数在其公共的收敛区域内, 其积仍为收敛幂级数, 并且和函数
为对应的两个和函数之积. 即
设R?min{R1,R2}, 则
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????n?? ??anx???bnxn??S1?x?S2?x?, x?R. ?n?0??n?0?□
【性质3】 幂级数(9)在其收敛域(?R1,R1)内可以逐项求导, 而且求导后的幂级数
的收敛半径与原级数的收敛半径相同, 即
??????n?nn?1ax?ax?nax?S1?(x), |x|?R1 ?????nnn??n?0?n?0?n?0注16 若幂级数数.
?axnn?0?n的收敛半径为R1, 则它的和函数S(x)在区间内其有任意阶导
【性质4】 幂级数(9)在收敛区域(?R1,R1)内可以逐项积分, 而且积分后所得的幂级
数的收敛半径与原级数的收敛半径相同, 即
??xx1??n?nn?1anx?dx???anxdx??anx??S(x)dx,??0?00n?1n?0n?0?n?0?x|x|?R1.
(?1)n?1n【例14】 求幂级数?x的和函数.
nn?1? 【解】 R?limn??anan?11?limn?, 1n??1n?1当x?1时, 原级数成为
1?1111????(?1)n?1??是收敛的; 234n当x??1时, 原级数成为调和级数
1?111?-?1?????????是发散的.
n?234?故收敛域为??1,1?.
(?1)n?1n11n?11n设S(x)??x?x?x2?x3?????1?x??
n23nn?1?从而S(0)?0.
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n?1n?1两边对x求导, 得S?(x)?1?x?x2???（?1）x??
右边级数是公比为?x的几何级数, 所以S?(x)?根据性质4, 两边同时从0到x积分得:
1. 1?xS?(x)??S?(t)dt??0x1dt?ln(1?x),x?(?1,1] 01?tx(?1)n?1n即?x?ln(1?x),nn?1?x?(?1,1].
□
二、函数的幂级数展开
前面我们讨论了幂级数的收敛域及其和函数的性质. 但在许多应用中, 我们遇到的却恰好是相反的问题: 给定函数f?x?, 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”? 就是说, 是否能找到这样一个幂函数, 它在某区间内收敛, 且其和恰好就是给定函数
f?x?. 如果能找到这样的幂级数, 则认为, 函数f?x?在该区间内能展开成幂级数, 而这
个幂级数在该区间内就表达函数f?x?.
1． 泰勒级数
在前面导数应用部分的泰勒中值定理中知道:
若函数f?x?在点x0的某邻域内存在直到n?1阶的连续导数, 则
f?x??f?x0??f??x0??x?x0??f???x0?2!?x?x0?2???f?n??x0?n!?x?x0?n??
在x0的邻域内, f?x?可以用n次多项式: f?x??f?x0??f??x0??x?x0????f?n??x0?n!?x?x0?n来近似代替.
【定理1】 如果函数f?x?在x?x0处存在任何阶的导数, 这时称形式为:
f???x0?f???x0?2nf?x0??f??x0??x?x0???x?x0?????x?x0??? (11) 2!n!n的级数为函数f?x?在x0的泰勒级数. 也称(11)式右端为f?x?在x?x0处的泰勒（Tayor）展开式, 或称幂级数展开式. 特别地, 当x0?0时, 我们称级数
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f???0?2f???0?nf?0??f??0???x?????x???为麦克劳林级数. 2!n!n【定理2】 设函数f?x?在点x0的某个邻域内可以展开成幂级数, 则幂级数是唯一的.
注17 若f为幂级数
?axnn?0?n在收敛区间??R,R?上的和函数, 则
?axnn就是
f?x?在??R,R?上的泰勒展开式.
2．初等函数的幂级数展开式
为方便起见, 我们仅讨论麦克劳林展开式, 即x0?0时的情况, 以下是几个基本初等函数的麦克劳林展开式.
(1) 求函数f?x??e的展开式.
x【解】 由于 fn?x??ex , fx?n??0??1 ?n?1.2??
x2xn????? （x??） 则 e?1?x?2!n!?xn ??
n?0n!收敛半径为R?lim□ (2)
求函数f?x??sinx的展开式.
?n?(n?1)!??.
n??n!【解】 f?x??sin??x??n?2??, ?n?1,2?? ?n?1令x0?0, 知 f?2n??0??0, f?2n?1??0????1?.
x3x5x2n?1n?1则 sinx?x???????1??? ?x???. 3!5!2n?1!??同理可得: 在???,???内有:
2nx2x4nxcosx?1???????1??? ?x???. 2!4!?2n?!第19页, 共31页
□
(3)
讨论二项式函数f?x???1?x?的展开式.
?【解】 当?为正整数时, 由二项式定理可直接展开, 就得到f的展开式. 下面讨论?不等于正整数时的情形. 此时, f?n??x??????1?????n?1??1?x???n , n?1,2?
n f???0??????1?????n?1? , n?1,2?
于是, f?x?的麦克劳林级数是:
?1?x???1??x?????1?2!x2???????1?????n?1?n!xn?? (12) R?lim????1?????n?n!??1
n??????1?????n?1?n?1!??收敛区间为??1,1?. 对于收敛区间端点的情形, 它与?的取值有关. 其结果如下: 当???1时, 收敛域为??1,1?.
1) 当?1???0时, 收敛域为??1,1?. 2) 当??0时, 收敛域为??1,1?. 3) 当(12)式中???1时就得到
1n?1?x?x2?????1?xn?? , ??1,1? (13) 1?x14） 当a??时得到
211?x?1?11?321?3?53x?x?x???1,1?. (14) 22?42?4?6一般来说, 只有少数比较简单的函数, 其幂级数展开式能直接从定义出发求出. 更多的情况是从已知的展开式出发, 通过变量代换, 四则运算或逐项求导、逐项求积等方法, 间接的求出函数的幂级数展开式.
【例15】 求
11和的展开式.
21?x21?x【解】 将x代入(13)式中可得:
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