二、幂级数
1. 幂级数的概念 形如
?axnn?0?n?a0?a1x?a2x2???anxn??的级数称为幂级数, 其中
a0,a1,?,an,?称为幂级数的系数.
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2. 幂级数的收敛半径和收敛域及其求法
?an若lim?R, 其中an,an?1是幂级数?anxn相邻两项的系数, 则R即是幂级数n??an?0n?1??axnn?0n的收敛半径, 区间(?R,R)称为幂级数的收敛区间; x??R时, 幂级数可能收敛也
可能发散.
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3. 幂级数的性质 设幂级数
?axnn?0?n的收敛区域为(?R1,R1), 和函数为S1?x?, 又设
?bxnn?0?n的收敛区域
为??R1,R2?, 和函数为S2?x?.
【性质1】 设R?min?R1,R2?, 则
?ax??bx???annnnn?0n?0n?0???n?bn?xn?S1?x??S2?x?,x?R;
【性质2】 设R?min?R1,R2?, 则
???n??n?axbx??nn?????S1?x?S2?x?,?n?0??n?0??x?R;
【性质3】 幂级数
?axnn?0n在??R1,R1?内可以逐项求导, 且求导后所得的幂级数的
收级半径与原级数的收敛半径相同, 即
?????n?n?n?1ax?ax?nax?S1??x?,?????nnn??n?0?n?0?n?0x?R1;
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【性质4】 幂级数
?axnn?0?n在收级区域??R1,R1?内, 可以逐项积分, 且积分后所得的
幂级数的收敛半径与原级数的收敛半径相同, 即
??xx1??n?nn?1anx?dx???anxdx??anxdx??S?x?dx,x?R. ??0?00n?1n?0n?0?n?0?x□
4. 函数的幂级数的展开式
(1) 泰勒级数与麦克劳林级数
若f?x?在x0的某邻域内具有各阶导数, 则
f?x??f?x0??f??x0??x?x0??称为f?x?在x0处的泰勒级数.
若x0?0, 则有
f???x0?2!?x?x0????2f?n??x0?n!?x?x0?n??f?x??f?0??f??0?x?f???x0?2!x???2f?n??0?n!xn?? 称此级数为函数f?x?的麦克劳林级数. □
(2) 一些常见函数的幂级数展开式
xnx2xne???1?x??????,2!n!n?0n!x?x???;
x2n?1x3x5x2n?1nsinx????1??x???????1???,2n?1!3!5!2n?1!????n?0?n2nx2nx2x4nxcosx????1??1???????1???,2n!2!4!?2n?!n?0?n?1??xn?1?x?x2???xn??,1?xn?0x???;
x???;
x?1;
?1nn????1?xn?1?x?x2?????1?xn??,1?xn?0x?1;
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n?1xn?1x2nxln?1?x?????1??x??????1???,?1?x?1;
n?12n?1n?0?n□
(3) 利用一些已知函数的展开式, 根据函数的幂级数展开式的唯一性, 以及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成幂级数, 有时可以采用变量代换来展开函数成为幂级数, 这种方法避免了进行复杂的运算.
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综合练习
一、选择题 1. 如果级数
?un?1?n收敛, 且Sn??uk?1?k, 则数列Sn（ ）.
A. 单调增加 B. 单调减少 C. 收敛 D. 发散 2. 若（ ）成立, 则级数
?un?1?n发散, 其中Sn表示此级数的部分和.
A. limSn?0 B. un单调上升 C. limun?0 D. limun不存在
n??n??n??3． 当条件( )成立时, 级数
??an?1?n?bn?一定发散.
A.
?an?1??n发散且
?bn?1?n收敛 B.
?an?1??n发散
C.
?bn?1n发散 D.
?an?1n和
?bn?1?n都收敛
4． 下列级数中发散的是( ).
1A. ? B.
n?1n?n?1?C.
?1 ?nn?13????1?n?1?n?11 D. n?n?1?1n 5． limun?0是级数
n???un?1?n收敛的( ).
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 无关条件
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6． 若级数
?nn?1?p?1发散, 则( ).
A. ?3?p?2 B. ?2?p??1 C. 1?p?2 D. p?3
7． 已知级数
???1?n?1?nun不满足莱布尼兹判别法, 则该级数( ).
A. 绝对收敛 B. 发散 C. 条件收敛 D. 敛散性不确定 8． 幂级数
?2n?0?nx2n的收敛区间是( ).
???22?, D. ??22??22??,?? ?22?nA. ??2,2? B. ??2,2? C. ?????n?1?xxn9． 幂级数?n在??2,2?内收敛于S?x?, 那么幂级数?在??2,2?内收敛n2?1n?12?1n?1于( ).
A. x?S??x? B. x?S?x?? C. x???x0S?t?dt D.
?tS?t?dt
0x□
二、填空题
?111．若级数?un的前n项和Sn??, 则?un? . 22?2n?1?n?1n?1???2．若正项级数
?un?1n收敛, 则级数
???1?n?1nun的敛散性是 .
3．若limun?0, 则
n???un?1?n必为 级数.
4．几何级数
?rn?1?n发散,则r应满足 .
5．设常数项级数
??an?1n?n?2010,则liman? .
n??6．幂级数
?n!xn?1的收敛半径R? , 收敛区间为 .
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xn7．幂级数?n的收敛半径R? , 收敛区间为 .
n?12?n?xn8．幂级数?n的收敛半径R? , 收敛区间为 .
n?1n?xnx9．已知e??, x????,??, 则e2? .
n?0n!?x
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三、解答题
1．判别下列级数的敛散性.
n?1(1) ? (2)
2n?3n?11(4) ?n (5)
3?nn?1???n?1???2n?1?!sin3n (3) ?3
n3n?n!n?1?2nn! (6) ?nnn?1??2n?1??2n?1?
n?1?12．求下列幂级数的收敛区间.
2n?1x2n?1(1) ? *(2) 2nn?1?1xn ?n?12?4????2n??2n(3) ?2xn (4)
n?1n?1????1?n?1?n?1?2x?3?2n?1n
3．求下列幂级数在收敛区间内的和函数. (1)
?nxn?1?n?1 ??1?x?1? (2)
?n?1?n?n?1?2xn?1 ??1?x?1?
4．将下列函数x展开成幂级数, 并求出收敛区间. (1) sinxx (2) ?1?x?e (3) arctanx 21ex?e?xx2(4) (5) e (6)
x?42(7) ln?1?x? (8)
x1?x2 (9)
x 1?2xx10(10)
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5．将函数f?x??*6．设f?x??1在x?3处展开成幂级数. x?t2?x0edt, 将其展开为麦克劳林级数.
7．将函数f?x??ex在x?1处展开成幂级数. 8．将函数f?x??cosx展开成?x??????的幂级数. 3?9． 将函数f?x??3?2x?4x2?7x3展开成?x?1?的幂级数.
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