三、 任意项级数、绝对收敛和条件收敛
【定义】 若级数的各项符号正负相间, 即
?(?1)n?1?n?1un?u1?u2?u3?u4???(?1)n?1un??(un?0,n?1,2,?) (6)
则称(6)为交错级数.
【定理】 莱布尼兹判别法
设交错项级数满足条件:
(1) u1?u2?u3?, 即数列?un?单调递减; (2) limun?0;
n??则交错级数(6)是收敛的, 且它的和S?u1.
三、 任意项级数、
绝对收敛、条件收敛
【定义】 (1)若级数
?un?1?n?u1?u2???un??的各项的绝对值所组成的级数
??un?1?n?u1?u2???un??收敛, 则称原级数?un绝对收敛.
n?1(2) 若级数
?un?1?n收敛, 而级数
?un?1?n发散, 则称原级数
?un?1?n条件收敛.
注11 全体收敛级数可以分为绝对收敛级数与条件收敛级数两大类. 注12 由级数的条件收敛可知: 若级数注13 绝对收敛的级数一定收敛. 【例9】 讨论级数
?un?1?n发散, 则?un?1?n未必发散. ?sinnx的收敛性. 2nn?1?第11页, 共31页
【解】 由un??sinnxsinnx1u?? 得 . nn2n2n2??1sinnx而级数?2收敛, 故由比较原则知?un收敛, 再由定理12.10知原级数?n2n?1nn?1n?1收敛, 并且为绝对收敛.
【例10 】 判断下列级数是否收敛, 若收敛, 是否为绝对收敛.
(1)
???1?n?1??n?11; n1; n2(2)
???1?n?1n?1(3) 1?111????. 35711, un?1?, 故un?un?1且limun?0
n??nn?1【解】 (1) 为交错级数, un?由莱布尼兹判别法知原级数收敛. 但由于件收敛. (2) 由于敛. (3) un?11u?1??????发散, 故原级数为条?n2nn?1????1?n?1?n?1??111, 而为收敛级数, 故原级数收敛, 并且为绝对收???2n2n?1n2nn?11, limun?0, 且 2n?1n??un?1?un?11?2???0 2n?12n?1?2n?1??2n?1?故un?un?1, 根据莱布尼兹判别法, 知原级数收敛. 又因为 ??1??n?1?11111?1, 而级数?????发散, 由比较原则知
2n?12n?12n2n?1nn?12n级数
1发散. ?2n?1n?1故原级数为条件收敛.
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幂级数
前一节讨论的级数其每一项都是常数, 称之为常数项级数. 还有一类级数, 其每一项都
n是函数的级数, 称之为函数项级数. 本节将讨论由幂函数列an(x?x0)所产生的函数项
??级数.
一、 幂级数的概念与性质
1. 幂级数的概念及其收敛性 【定义5】 形如
?axnn?0?n?a0?a1x???anxn?? (8)
的级数称为幂级数, 其中a0,a1,?,an,?都是常数, 称为幂级数的系数, anxn称为幂级数的通项,
?an?x?x0??a0?a1?x?x0??a2?x?x0????an?x?x0???
n?1?n2n称为x在x0处的幂级数, 它是(8)的一般形式.
在(7)中, 只要令t?x?x0, 就可把(7)转化成(8)式, 所以不失一般性, 我们着重讨论幂级数(8)的收敛性问题.
观察发现, 任何一个幂级数在x?0处肯定是收敛的. 对于每一个确定的实数x0, 幂级数(8)成为常数项级数.
?axn?0?nn0?a0?a1x0???anx0n?? (9)
这个级数可能收敛, 也可能发散, 如果收敛, 则称点x0是幂级数(8)的收敛点; 如果发散,则称点x0是幂级数(8)的发散点, 幂级数(8)的所有收敛点的全体组成的集合称为它的收敛域, 将之记作I. 所有发散点的全体组成的集合称为它的发散域, 在收敛域上, 幂级数的和是x的函数S?x?, 通常称S?x?为幂级数的和函数. 其定义域就是级数的收敛域, 并记为
S?x???anxn,x?I.
n?0?我们已经知道, 幂级数
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?xn?0?n?1?x?x2???xn??
可以看作是一个公比为x的几何级数, 根据前面的讨论, 当|x|?1时, 该级数收敛于
1; 当|x|?1时, 该级数发散, 因此这个幂级数的收敛域是一个区间??1,1?, 在收敛域1?x内取值, 则有
?1??xn?1?x?x2???xn?? , x???1,1? 1?xn?0由此我们可以看到, 这个幂级数的收敛域是一个区间, 事实上, 还有许多这样的例子, 因此, 我们猜测这个结论对一般的幂级数都是成立的.
事实上, 有如下结果:
【定理】 如果幂级数?anxn不是仅在x?0处收敛, 也不是在整个R上都收敛,
n?0?则必有一个确定的正数R存在. 使得
(1) 当|x|?R时, 幂级数收敛;
(2) 当|x|?R时, 幂级数发散;
(3) 当x?R和x??R时, 幂级数可能收敛, 也可能发散.
（证明略） 这里的正数R通常叫做幂级数(8)的收敛半径, 开区间(?R,R)叫做幂级数(8)的收敛区间, 再由幂级数在x??R处是否收敛来决定它的收敛域.
注14 如果幂级数(8)只在x?0处收敛, 此时收敛域只有一点x?0, 为方便起见, 规定它的收敛半径为R?0; 如果幂级数(8)对一切x?R都收敛, 则规定收敛半径R???, 此时收敛域是???,???.
下面的定理给出了一种求收敛半径的方法:
【定理 】 如果幂级数?anxn的相邻两项的系数满足条件:
n?0?limn??an?R, an?1第14页, 共31页
则R就是
?axnn?0?n的收敛半径.
注15 在前一节中, 用常数项级数的比式判别法去判断其收敛性时, 是后项与前项的比值, 而该定理考虑收敛半径是系数数列的前项与后项的比值.
【例 11】 求下列幂级数的收敛半径和收敛域.
x2x3xn?????? (1) x?23n(2)
?n!xn?0?n
1an?1?, 故收敛半径R?1. 【解】 (1) R?limn?lim1n??an??1n?1n111当x?1时, 原幂级数成为调和级数 1??????? 是发散的.
23n11n1?? 这是一个交错级数, 根 当x??1时, 原幂级数成为 ?1???????1?23n据莱布尼兹判别法知, 是收敛的.
因此收敛域为??1,1?. （2）R?limn??ann!1?lim?lim?0. an?1n???n?1?!n??n?1故收敛半径R?0, 即原幂级数仅在x?0处收敛. 【例 12】 求幂级数1?x?121x???xn??的收敛半径和收敛区间. 2!n!【解】 R?limn??anan?11?limn!?l?inm?n??n??1?n?1?!1 ????故收敛半径R???, 收敛区间为???,???.
(x?1)n*【例 13】 求幂级数?n的收敛域.
2?nn?1?tn【解】 令t?x?1, 则原幂级数变为?n.
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