数(2)的第2n个部分和为S2n, 也有S2n?S?n???.
于是 S2n?Sn?S?S?0 ?n???. (3) 但是
S2n?Sn?1111111??????????. n?1n?22n2n2n2n2故与(3)式矛盾, 则假设不成立, 说明原级数发散.
注6 性质4的逆否命题是成立的. 即如果limun?0, 则
n???un?1?n必定发散.
例如, 级数
nn?1?0, 它的通项?n?1n?1n?1??n???, 因此该级数发散.
二、正项级数收敛性判别法
一般的常数项级数, 它的各项可以是正数、 负数或者零. 现在我们先讨论各项都是正数或零的级数, 这种级数称为正项级数.
下面我们讨论正项级数
?un?1?n?u1?u2???un??, 其中un?0. （1）
设其部分和为Sn, 显然部分和数列?Sn?是单调增加的, 也就是:
S1?S2???Sn???n?1,2,??
从而Sn只有两种变化情况:
1)
Sn无限增大, 于是limSn不存在;
n??n??2) 存在一个正数M, 使得Sn?M. 此时, 根据数列极限存在准则, limSn存在. 对于情况1)表明级数(1)发散; 对于情况2)表明级数是收敛的. 因此正项级数是否收敛只要判定是否存在一个正数M, 使得Sn?M就行了.
【定理1】 比较判别法
设
?un?1?n和
?vn?1?n是两个正项级数, 如果存在某正数N, 对一切n?N, 都有
第6页, 共31页
un?vn, 那么:
(1) 若级数
?vn?1??n收敛, 则级数
?un?1??n也收敛;
(2) 若级数□
?un?1n发散, 则级数
?vn?1n也发散.
注7 比较判别法的特点就是要找出合适的级数来比较. 【例4 】 判断以下正项级数的敛散性.
?11(1) ?n (2) ? n?12?1n?1n?n?【解】 (1) 由于
111?, 而几何级数是收敛的, 则有比较原则知: ?nnn22?121收敛. ?n2?1n?1(2)由于?1111111??, 而调和级数?是发散的, 则?也发?, ?n2n2n2nn?n2n散. 则由比较判别法知□
1也发散. ?n?1n?n?【例5】 判断下列级数的敛散性.
11sin (2)?n ?2n?n1n12n12?n【解】 (1) 由于lim?limn?lim?1, 而?n是收敛的, 故n??n??2?nn??1n2
1?2n2n1?2n?n也收敛.
1sin111n?1. 而1发散, 故(2) ?sin?sin1?sin??sin?? 由于lim?nn??1n2nn1?sinn也发散.
(1)□
第7页, 共31页
【例6】 讨论p-级数1+
111??????的敛散性. 2p3pnp?111【解】 当 p?1时, p?, 由于调和级数?发散.由比较判别法, 当p?1时,
nnn?1n该级数是发散的.
当p?1时, 按顺序把该级数的1项、2项、4项、8项??括在一起.
1??1111??11?11??p?p???p?p?p?p???p???p3??4567??815?2它的各项显然小于下列级数的各项.
???? (4) ?1?11??p?p2?2即1?111111??(???)?(???)?? ?pppppp44488?412p?1?14p?1?18p?1?? (5)
p?1?1?而后一个级数是等比级数, 其比q????2??1 , 所以级数(5)收敛.
于是根据级数收敛的比较判别法, 当p?1时, 级数(4)收敛, 而级数(4)是正项级数, 所以加括号不影响其敛散性, 故原p-级数收敛.
综上所述, p-级数当p?1时, 发散; 当p?1时, 收敛. 注8 p-级数是一个用处很广的级数, 要牢记它的敛散性.
【定理2】 比式判别法
若
?un为正项级数, 且 limn?1?un?1?q
n??un 则:
(1) 当q?1时, 级数
?un?1?n收敛;
(2) 当q?1或q???时, 级数
?un?1?n发散;
第8页, 共31页
(3) 当q?1时, 级数
?un?1?n可能收敛也可能发散.
(证明略)
【例7】 判断下列级数的敛散性. (1)
2?5?8??22?52?5?8?2?3?n?1?????
?????11?51?5?91?5?9???1?4?n?1???(2)
?nx?n?1 ?x?0?
5nn!(3) ?n
n?1n【解】 (1) 由于limun?12?3n3?lim??1, 由比式判别法知, 原级数收敛.
n??un??1?4n4nn?n?1?x?limx?n?1?x, 故由比式判别法知: u (2) 由于limn?1?limn??un??n??nxn?1nn 当0?x?1时, 当 x?1时, 当 x?1时,
(3) 由于
?nx?nx?nxn?1收敛; 发散;
n?1n?1??n发散.
5n?1?n?1?!limun?1?limn??un??n?n?1?n?15n?n!nn????n1?n????5?1 . ?lim5???lim5??n??n????1?n?e?n?1???1?????n??故原级数发散.
*【定理3】 根式判别法
设
?un为正项级数, 如果limnun?q, 则有
n??(1) 当q?1时, 级数收敛; (2) 当q?1时, 级数发散;
第9页, 共31页
(3) 当q?1时, 级数可能收敛也可能发散. (证明略)
3???1?【例8】 讨论级数?的敛散性. n23???1?1nn?【解】 由于limun?lim ??1?, 所以原级数是收敛的.
n??n??2n2□
注9 凡能由比式判别法判别敛散性的级数, 它也能用根式判别法判断. 因而可以说根式判别法比比式判别法更有效. 事实上当limnnun?1?q时, 则必有limnun?q.
n??n??un例如, 级数
2???1?u2m, 由于lim?2nm??u2m?11n32m32?lim? ??1?, m??122m?12而 lim2m?1u2m?11?lim2? ??1?,
m??um??362m22m故由比式判别法无法判别此级数的敛散性. 但是用根式判别法考察这个级数:
m??lim2mu2m?lim2mm??31112m?1u2m?1, 且 . ?lim?1?lim?2m2m2m?1m??m??2222故limnun?n??1(?1)知原级数是收敛的. 2注10 一般地, 当un为乘积式时多用比式判别法, 当un为乘方形式时多用根式判别法. □
上面我们讨论了正项级数的三个判别法则. 比较判别法则需找一个已知收敛或发散的级数作参照, 而比式判别法与根式判别法不需要其它参照级数, 就其级数本身的特点进行判定, 这是它的优点, 缺点是当极限limun?1?1（或limnun?1）时, 判别法失效, 需
n??n??un用其它判别法判别. 总之, 在具体使用这三个判别法时, 可根据所给级数的特征而灵活选择判别法进行判定.
第10页, 共31页