1n2n24?1?x?x????1x?? ??1,1? (15) ??1?x22 将?x代入(14)式中可得:
11?x2□
?1?121?341?3?56x?x?x?? ??1,1? (16) 22?42?4?6对(15)、(16)分别逐项求积可得函数arctanx与arcsinx的展开式:
2x?1dt1315nxarctanx???x?x?x?????1??? ??1,1? 01?t2352n?1xarcsinx??
x01x31?3151?3?5x7?x???x??? ??1,1? 2232?452?4?671?tdt【例16 】 求非初等函数F?x??2x?x0e?tdt的幂级数展开式.
2【解】 以?x代替e展开式中的x, 得到
e?x22nx2x4x6nx?1????????1??? ????x????
1!2!3!n!再逐项求积就得到F?x?在????x????上的展开式
??1?x2n?11x31x51x7?tF?x???edt?x????????????
01!32!53!7n!2n?1x2n【例17】 将函数sinx展开成(x?【解】 由于sinx?sin??)的幂级数. 4????????x???
4???4? ?sin????????cos?x???cossin?x?? 44?44??? ?且有
1????????cosx??sinx?????. ??442??????第21页, 共31页
??????x????x????44?????cos?x???1???? ????x????,
42!4!????????x????x????4??4?????sin?x????x??????? ????x????,
4??4?3!5!?所以
23????????x???x????1?????4??4??sinx?1??x??????? .????x????
?4?2!3!2??????1*【例18】 将函数f?x??2展开成?x?1?的幂级数.
x?4x?33522 【解】
f?x??11111?11???????? 2x?4x?3?x?1??x?3?2?x?1?2?x?3?2?x?1x?3?????1?11?11111??????????x?14x?1?2?2??x?1?4??x?1??2?21??1???24??11?,
?x?1??x?1?4?1??8?1??2?4???n11???1? 而 ???x?1?4n?02n4?1??2??11???1? ??nx?1??8n?048?1??4???x?1?n ??1?x?3?;
n?x?1? ??3?x?5?.
n?11?n?1故 f?x??2????1??n?2?2n?3??x?1?. ??1?x?3?
x?4x?3n?02?2?n□
第22页, 共31页
一、常数项级数
1. 常数项级数的基本概念 级数定义 设给定数列, 把形如
?an?1n?n?a1?a2???an??的式子称为常数项级数,
简称级数, 其中第n项an称为级数
n?an?1i?的通项（或一般项）.
设级数的前n项和为Sn=??a=a+ a+?+ a
12ii=1则称Sn为级数
?an=1n的前n项部分和, 简称部分和.
?若部分和数列?Sn?的极限存在, 即limSn=S(常数), 则称S为无穷级数
n???an=1n的和,
记作S=?a=a+a+?+a+?.
n12nn=1?此时称级数□
?an=1?n收敛, 如果
?sn?没有极限, 则称级数?an=1?n发散, 这时级数没有和.
2. 常数项级数的性质 【性质1】 若
?an=1?n收敛于a,
?bn=1?n收敛于b, c,d为常数, 则
??ca+db?也收敛,
nnn=1?且
??ca+db??ca?db.
nnn=1?【性质2】 若级数
?an=1?n收敛, 则liman=0.
n??注意 性质2是级数收敛的必要条件, 如果级数的一般项不趋于0, 级数一定发散; 如果级数的一般项趋于0, 级数可能收敛也可能发散. □
3. 正项级数及其收敛性 若常数项级数
?un=1?n的一般项un?0?n=1,2,??, 称级数
第23页, 共31页
?un=1?n为正项级数.
(1) 比较判别法 设
?un=1?n和
?vn=1?n是两个正项级数, 若un?vn?n=1,2,??, 则
?(a) 当
?vn=1??n收敛时,
?un=1?n也可收敛;
(b) 当
?un=1n发散时,
?vn=1n也发散.
(2) 比式判别法 若正项级数
?un (un?0) 的后项与前项之比的极限等于q, 即limn=1?un+1=q，则
n??un(a) 当q?1时, 级数
?un=1??n收级;
(b) 当q?1时, 级数
?un=1n发散;
(c) 当q?1时, 无法判断.
□
4. 几个常见级数敛散性的重要结论 (1) 调和级数
111?1??????是发散的. ?2nn=1n注意
????1?n=1?n?11111n?11?1????????1?+?是收敛的. n234n(2) 几何级数（也称等比级数）
?aqn=0?n=a+aq+aq2+?aqn+?
a; 1?q当q?1时, 级数收敛, 且S?当q?1时, 级数发散. 第24页, 共31页
(3) p?级数: ?nn?1?1p?1?111?????? ppp23n当p?1时发散; 当p?1时收敛.
□
5. 交错项级数
若级数的各项符号正负相间, 即
u1?u2?u3?u4??????1?un
n?1?n?1则称此级数为交错项级数, 其中un?0?n?1,2,??
莱布尼兹判别法: 若交错级数
???1?n?1?n?1un,un?0,n?1,2,?, 满足条件
(1) un?un?1 (2) limun?0
n??则级数□
???1?n?1?n?1un收敛, 且其和S?u1.
6. 绝对收敛与条件收敛 如果级数
?un?1?n的各项un可以取任意数, 则称为任意项级数.
??(1) 若绝对值级数?un?1n收敛, 则级数?un?1nn必然收敛. (2) 若级数?un?1??n收敛, 则称原级数?un?1?绝对收敛, 若级数?un?1?n发散, 但级数?un?1?n收敛, 则称级数
?un?1n为条件收敛.
□
第25页, 共31页