《数学建模》期末作业题 2008-6-16
23、工件的安装与排序问题
某设备由24个工件组成，安装时需要按工艺要求重新排序。 Ⅰ．设备的24个工件均匀分布在等分成六个扇形区域的一圆盘的边缘上，放在每个扇形区域的4个工件总重量与相邻区域的4个工件总重量之差不允许超过一定值（如4g）。 Ⅱ．工件的排序不仅要对重量差有一定的要求，还要满足体积的要求，即两相邻工件的体积差应尽量大，使得相邻工件体积差不小于一定值（如3 ）； Ⅲ．当工件确实不满足上述要求时，允许更换少量工件。 问题1．按重量排序算法；
问题2．按重量和体积排序算法；
问题3．当工件不满足要求时，指出所更换工件及新工件的重量和体积值范围，并输出排序结果。
请按下面两组工件数据（重量单位：g ，体积单位： ），进行实时计算：
序号 重量 体积 序号 重量 体积 1 348 101.5 1 358.5 103 2 352 102 2 357.5 103 3 347 105 3 355 103 4 349 105.5 4 351 103.5 5 347.5 106 5 355.5 103 6 347 104 6 357 102 7 330 94 7 341 96 8 329 98 8 342 96.5 9 329 100.5 9 340 95.5 10 327.5 98.5 10 344 97 11 329 98 11 342.5 95.1 12 331.5 99 12 343.5 96.5 13 348.5 104.5 13 357.5 102.5 14 347 105 14 355 103 15 346.5 107.5 15 353.5 103.5 16 348 104.5 16 356.5 103.5 17 347.5 104 17 356 103.5 18 348 104.5 18 352.5 104 19 333 97 19 342.5 98 20 330 97 20 344 96.5 21 332.5 99 21 339.5 98 22 331.5 98 22 341.5 96 23 331.5 96.5 23 341 96 24 332 94.5 24 345 97
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24、水、气阀门问题
常见的水、气阀门开关时，旋转的角度与流量之间不是线性关系。有一些场合要求二者为线性关系，这为设计制造提出了一个难题。比如阀体为两个圆柱形筒，外筒固定，侧面有一个圆形的孔；内筒可旋转，侧面也有一个孔，流体从两个孔的相交部分流过，于是问题就是如何设计内筒的孔的形状，使相交部分的面积与旋转的角度尽量为线性关系，并且在开到最大角度时，相交部分就是外筒的圆。 如果把圆柱展开为平面，即为两个长方形。圆筒的转动转化为两个长方形的相对平动。固定的长方形上有一个圆孔，请设计可移动长方形上孔的形状。 试根据以上条件建模
25、军用设备的海中投放
军方需要用轰炸机定点空投一军用球型设备到某海域，飞机速度为100米/秒，球型设备半径为0.1米，密度为0.85，当地海水密度为1.03，若此设备在水中的摩擦力与速度相反，且成正比，比例系数=0.5公斤.秒/米，（ g = 9.8 ）。 （1）、军方希望球型设备不要落入比65米还深的海水里，请你分析飞机当时应飞行的高度。
（2）、军方也关心球型设备停在海面上时的位子，请你给出。
（3）、描述球型设备的轨迹特征，并给出球型设备的一种轨迹图。
26、农场计划
英国某农场主有200英亩土地的农场，用来饲养奶牛。现要为五年制定生产计划。现在他有120头母牛，其中20头为不到2岁的幼牛，100头为产奶牛，但他手上已无现金，且欠别人帐20000英镑须尽早用利润归还。每头幼牛需用2/3英亩土地供养，每头奶牛需用1英亩。产奶牛平均每头每年生1.1头牛，其中一半为公牛，出生后不久即卖掉，平均每头卖30英镑；另一半为母牛，可以在生出后不久卖掉，平均每头40英镑，也可以留下饲养，养至2岁成为产奶牛。幼牛年损失5%；产奶牛年损失2%。产奶牛养到满12岁就要卖掉，平均每头卖120英镑。现有的20头幼牛中，0岁和1岁各10头；100头奶牛中，从2岁至11岁各有10头。应该卖掉的小牛都已卖掉。所有20头要饲养成奶牛。
一头牛所产的奶提供年收入370英镑。现在最多只能养160头牛，超过此数每多养一头，每年要多花费90英镑。每头产奶牛每年消耗0.6吨粮食和0.7吨甜菜。粮食和甜菜可以由农场种植出来。每英亩产甜菜1.5吨。只有80英亩的土地适合于种粮食，且产量不同。按产量可分作4组：第一组20英亩，亩产1.1吨；第二组30英亩，亩产0.9吨；第三组20英亩，亩产0.8吨；第四组10英亩，亩产0.65吨。从市场购粮食每吨90英镑，卖粮食每吨75英镑；买甜菜每吨70英镑，卖甜菜每吨50英镑。养牛和种植所需劳动量为：每头牛每年10小时；每头产奶牛每年42小时；种一英亩粮食每年须4小时；种一英亩甜菜每年须14小时。
其他费用：每头幼牛每年50英镑；产奶牛每头每年100英镑；种粮食每亩每年15英镑；种甜菜每亩每年10英镑；劳动费用现在每年为6000英镑，提供5500小时的劳动量。超过此数的劳动量每小时费用为1.80英镑。
贷款年率10%，每年货币的收支之差不能为负值。此外，农场主不希望产奶
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《数学建模》期末作业题 2008-6-16
牛的数目在五年末较现在减少超过50%，也不希望增加超过75%。 应如何安排5年的生产，使收益最大？
27、 雷达测船
海面上一轮船沿直线匀速前行，速度为30公里/小时，船上有一雷达可用来测距、测角，船长关心的是周围目标那些是活动的船，那些是不动的岩石，若是活动的船，请按下面假设，分析有关因素，给出船的运动方向和速度。 1、若船上雷达测距、测角是准确的，请你给出你的结论。 2、若船上雷达测距、测角是有误差，请你给出你的结论。 3、进一步的问题：
（1）、误差怎样表述更合理？
（2）、有关数据和误差怎样时，你难于下结论？
4、若船长40分钟前测得一目标距离 d1=50公里，与本船前进方向成 a1=80 度角，现测得此目标距离 d2=75公里，与本船前进方向成 a2=105 度角，请给出你的结论。
28、制定月建造计划
某市某著名房地产公司通过对历史资料进行回归分析（即数据拟合），并结合今年上半年可能出现的影响楼盘销售的因素，预测该公司2005年上半年的销售情况如下表所示： 月份 销售量（套） 1 42 2 32 3 41 4 67 5 25 6 29 该公司的楼盘2004年12月的销售均价为4000元/平方米，平均每套120平方米，今年上半年的售价保持不变。2004年12月末尚有49套现房未售出。商品房从规划到售出会发生下列费用：（1）建造成本，包括固定成本（主要是指购地、机器设备的折旧）和可变成本（钢材、水泥、装饰材料和人工成本等，其中人工成本在可变成本中占到大约40％），按照2004年12月份的建材价格计算，可变成本（万元）与商品房建造套数（以平均每套120平方米计算）的平房成正比，比例系数是0.5。且可变成本与建材价格上涨幅度有关，例如建材价格上涨10％，则可变成本是按前面方法计算结果的1.1倍。（2）销售费用。与当月的销售金额成正比。（3）折旧，建造好的商品房未售出的必须计提折旧，折旧分40年平均摊销，即该公司生产的商品房平均每套每月的折旧为48万元/（40×12）＝0.1万元。
2004年以来，央行和发改委出台了一系列措施平抑建材价格，但由于对建材需求结构而言，总体上求大于供的市场状况没有得到根本改善，预计今年上半年
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《数学建模》期末作业题 2008-6-16
建材的价格仍会有一定的增长。预计的增长速度（以2004年12月的价格为基准）见下表： 月份 增长速度 1 10％ 2 10％ 3 20％ 4 20％ 5 30％ 6 30％ 该公司希望在上半年就把建造好的房屋全部销售完，为使利润最大化，需要制定出从2005年1月到6月每月的建造计划（即每月完成多少套，以平均每套120平方米计算）。
（1）如果公司的月建造能力没有限制，并且允许期房（即尚未建好的房屋）销售，但在6月底前全部完成交房，如何制定月建造计划？
（2）如果公司每月的建造能力限于33套（以平均每套120平方米计算），并且允许期房销售，但在6月底前要全部完成交房，又该如何制定月建造计划？ 29、洁具流水时间设计
某洁具生产产家打算开发一种男性用的全自动洁具，它的单位时间内流水量为常数v，为达到节能的目的，现有以下两个控制放水时间的设计方案供使用。 方案一：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为T，然后自动停止放水。若使用时间不超过T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，为使用者离开后再放水一次，持续时间为10秒。
方案二：使用者开始使用洁具，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为T，然后自动停止放水。若使用时间不超过T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，到2T时刻再开始第二次放水，持续时间也为T。但若使用时间超过2T-5秒，则到4T时刻再开始第三次放水，持续时间也为T……
在设计时，为了使洁具的寿命尽可能延长，一般希望对每位使用者放水次数不超过两次。
该厂家随即调查了100人次男性从开始使用到离开洁具为止的时间（单位：秒）见下表： 时间（秒） 人次 12 13 14 15 16 17 18 1 5 12 60 13 6 3 （1）请你根据以上数据，比较这两种设计方案从节约能源的角度来看，哪一种更好？并为该厂家提供设计参数T（秒）的最优值，使这种洁具在相应设计方案下能达到最大限度节约水、电的目的；
（2）从既能保持清洁又能节约能源出发，你是否能提出更好的设计方案，请通过建立数学模型与前面的方案进行比较。
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30、人力资源安排问题
“PE公司”是一家从事电力工程技术的中美合资公司，现有41个专业技术人员，其结构和相应的工资水平分布如表1所示。
表1 公司的人员结构及工资情况
高级工程师 人 数 9 日工资（元） 250 工程师 17 200 助理工程师 10 170 技术员 5 110 目前，公司承接有4个工程项目，其中2项是现场施工监理，分别在A地和B地，主要工作在现场完成；另外2项是工程设计，分别在C地和D地，主要工作在办公室完成。由于4 个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不一，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，具体情况如表2所示。
表2 不同项目和各种人员的收费标准
A 收费 B （元/天） C D 高级工程师 1000 1500 1300 1000 工程师 800 800 900 800 助理工程师 600 700 700 700 技术员 500 600 400 500 为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，具体情况如表3 所示：
表3：各项目对专业技术人员结构的要求
高级工程师 工程师 助理工程师 技术员 总计 A 1～3 ≥2 ≥2 ≥1 ≤10 B 2～5 ≥2 ≥2 ≥3 ≤16 说明：
? 表中“1～3”表示“大于等于1，小于等于3”，其他有“～”符号的同理；
? 项目D，由于技术要求较高，人员配备必须是助理工程师以上，技术员不能
参加；
? 高级工程师相对稀缺，而且是质量保证的关键，因此，各项目客户对高级工
程师的配备有不能少于一定数目的限制。各项目对其他专业人员也有不同的限制或要求；
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C 2 ≥2 ≥2 ≥1 ≤11 D 1～2 2～8 ≥1 -- ≤18