《数学建模》期末作业题 2008-6-16
死去。
现考虑养殖场中某种虾的养殖与固定努力量捕捞。用x(t)表示养殖场中第t月的虾量（单位：斤），用y(t)表示第t月的月养殖费（单位：元/月）.根据以往经验和市场调查，我们有如下数据：
1）这种虾的自然死亡率为?,??0.05（1/月）； 2）环境容许的最大虾量为N，N?104（斤）；
3）在无捕捞和自然死亡的情况下，养殖场虾量x(t)的增加速度与月养殖费
其比例系数是x(t)的函数；当x(t)达到N时，此函数为0；当x(t)为y(t)成正比，
0时，此函数为常数?，?＝1（斤/元）；
4）虾的捕捞采用拉网式固定努力量捕捞，即每月的捕捞量与此时养殖场虾量x(t)成正比，比例系数为E.这种拉网式捕捞每次捕到的虾中出现小虾，中虾、大虾的概率分别为0.2、0.5、0.3,而捕捞成本为?,??0.1(元斤）；
5）小虾、中虾、大虾平均每斤的批发价格分别为5元，7元和10元. （1）若某人长期承包这养殖场，要求养殖场中每月的虾量都相等，且月养殖费y(t)与该月虾量x(t)成正比，比例系数为a,a?0.2（元/斤﹒月）。试制定捕捞策略（确定E），使虾的月利润最大，此时每月养殖场的虾量及利润各是多少？
（2）若某人承包此养殖场5年，且月养殖费y(t)与该月虾量x(t)成正比，比例系数为a,又取E＝0.08（1/月）。试制定养殖策略（确定a）,使5年的总利润最大。如果初始虾量为103斤，那么使获利最大的开始捕捞的月份是多少？
（3）若某人承包此养殖场5年，每月按强度E?0.1（1/月）捕捞，试制定养殖场策略（确定养殖费y(t)）,使5年的总利润最大.
备用习题 1：战争模型
设战争开始时，甲方有x0门甲种大炮，乙方有y0门乙种大炮，甲种大炮的杀伤力为A，乙种大炮的杀伤力为B。
假设在战争中，双方的大炮数都得不到补充，只会不断减少。一方的大炮数减为零，就算这一方失败。
考虑以下两种情况：
1） 作战时，双方都知道对方大炮的位置，可以瞄准攻击。单位时间内，任何一方大炮数的减少量与对方现有的大炮数和杀伤力成正比。
2） 作战时，双方都不知道对方大炮的位置，只能盲目攻击。单位时间内，任何一方大炮数的减少量与对方现有的大炮数和杀伤力，以及我方现有的大炮数成正比（因为是盲目攻击，我方大炮数越多，被对方偶然击中的可能性越大）。 问：
1） 在这种情况下，双方的大炮数按怎样的规律变化？
2） 战争的胜负与双方的大炮的初始值和杀伤力是什么关系？ 3） 如果一方有两种大炮可供选择，一种价高杀伤力也高，一种价低杀伤力也底，在军火开支有限的情况下，应选择哪一种大炮？ 4） 对这一模型是否还有可以作其他的推广和改进？ 2、薄膜渗透率的测定
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某种医用薄膜有允许一种物质的分子穿透它，从高浓度的溶液向低浓度的溶液扩散的功能，在试制时需测定薄膜被这种分子穿透的能力。测定方法如下：用面积为S的薄膜将容器分成体积分别为 VA、VB的两部份，在两部分中分别注满该物质的两种不同浓度的溶液。此时该物质分子就会从高浓度溶液穿过薄膜向低浓度溶液中扩散。通过单位面积膜分子扩散的速度与膜两侧溶液的浓度差成正比，比例系数K表征了薄膜被该物质分子穿透的能力，称为渗透率。定时测量容器中薄膜某一侧的溶液浓度值，以此确定K的数值。
（1） 试对一般的问题建立以数学模型求出参数K的表达式。
（2） 设VA=VB =1000立方厘米，S =10平方厘米，对容器的B部分溶液浓度的测试结
果如表1。
表1
tj (s) 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Cj(×10-5) 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59 其中Cj的单位：毫克/立方厘米。
试根据这组数据区出参数K和初始A,B容器中溶液的浓度。 3、电视塔问题
1）若将电视塔的信号覆盖区看成一圆形区域。这个圆的半径作为此电视塔的传
播半径，试求出电视塔的塔高h与传播半径R之间的关系。
2）若不考虑电视讯号的衰减，要把北京的电视讯号用电视塔发射出去，使得五千里以外的边疆也能收到，需要建多高的电视塔？这种作法可行吗？若改由微波中继站的方式，把电视讯号像接力赛那样一站一站传递下去，假设微波中继站的塔高为100米，需建几座微波中继站？ 4、药物吸收
药物既用于会引起感染的飞逸的有害细菌也用于补偿由于某些器官功能失常导致的不平衡（例如，在糖尿病患者中胰岛素的不平衡）。医生面临的总是是决定用药的量及频率。如果在人体中药的浓度太低，则将引起严惩的副作用以至死亡。试建立一个能用于决定最优用药方案的在人体内药物吸收的数学模型。 5、遗传病问题
某些人类的特征（例如，眼睛的颜色）是遗传继承的。特别有趣的是血友病，得这种病的人由于体内没有能力生产血凝块因子而不能使出血停止。男人，女人都会得这种病，但是只有女人才有遗传地传递这种缺损的能力。换言之，得这种
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遗传病的男人不能把这种缺损遗传地传递给他的下一代。当给定某时刻的男人和女人比例时，试建立一个预测这种遗传疾病逐代扩散的数学模型。 6、标靶设计
掷标靶是一种流行的游戏，一个圆形标靶被分成20个相等的扇行区域，在这些区域填有数字1-20表示飞标落在相应区域的得分，游戏规则是各选手轮流掷镖，每轮的得分从他的总分301中减去，首先恰好减至0分者获胜，试建立模型说明如何安排扇行区域的数字能增加掷镖的难度。 7、交通管理
大城市心脏地区的交通流主要依赖于交通管理的方案。这种管理方案包括：（1）在每一个交叉路口的交通管理色灯（即红绿灯）的交替循环，（2）不同交叉路口之间的色灯间的同步，交通管理色灯交替循环由一串或固定或可变的持续时间的红黄绿信号组成。如果控制方案很差则在一个或多个交叉路口排起长对会增加车辆穿过城市的时间。我们现在研究就问题就是研制一种能使车辆穿过城市的预期时间极小的方案。我们最终目的是了解交通现象，以便于减少交通拥挤，消除事故，增加车流量，改善交通状况. 8、后代遗传基因问题
遗传性质的携带者称为基因，基因是成对出现的。一般地，一对中的每个基因可以取两种不同形式（等位基因）A和a。在一个总体中基因A和a的比例是基因频率，相应地记为p 和q=1-p。两种等位基因可形成三个基因型：AA、Aa和aa（Aa和aA无区别）。一个后裔分别都以1/2的概率接受父亲的两个基因中的任何一个，接受母亲的两个基因中的任何一个，形成一对。
1交配进行了n代，第n+1代中出现AA 、Aa和aa的可能性各是多少？ 2对于三种基因型：AA、Aa和aa，亲本总体有比例为u:2v:w(u>0, v>0, w>0; u+2v+w=1) 交配至地n代，求第n代中AA 、Aa和aa的比例各是多少？ 3如果设a是这样的一个基因，基因型为 aa的人将在童年死去，请研究遗传风险的大小。
9、讨论一个有关军事的模型
对敌方武器实施无线电对抗，是一种强有力的对抗手段，可以采用下列几种基本的无线电对抗手段：
１．使用特制的反雷达涂层，这种涂层能减小有效反射面积；
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２．施放积极干扰； ３．施放消极干扰。
采用反雷达涂层，可以使敌方雷达设备的作用半径显著减小。对雷达施放干扰时，干扰类型、干扰强度以及战斗运用方法不同，被干扰的火力装置的效能所受到的影响也极不相同。由于受到干扰，雷达设备中的某些组件，或单独地或以各种不同组合形式完全失效或局部失效。
１．假设甲方与乙方进行对战，甲方的战斗单位是一架用装有k枚“空－地”导弹进行攻击的歼击机，乙方对甲方的火力装置施以无线电对抗。问：由于受到来自乙方的无线电对抗，甲方的战斗行动效能将降低多少？
２．一般情况下，甲方可以使用n个战斗单位（如导弹、飞机等）对乙方进行攻击，乙方可以使用m个干扰设备对甲方的火力装置施以无线电对抗。请建立关于无线电对抗的战斗行动模型，并对无线电对抗的效能进行评价。
10、电梯控制问题
我校科技楼北楼有两台电梯。等电梯的人给出要上下的信号，电梯只有在空闲或同方向行进时才接受这个指令。然而，电梯经常出现十分拥挤的状况，特别在上下课的时候，要等很长的时间，所以埋怨声很多。你能否为电梯设计一个调度方案，减少大家的等待时间，减少师生的不满。
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11、有价证券投资
某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级，到期年限、收益如下表所示，按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50％的税率纳税，此外还有以下限制： （1） 政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；
（2） 所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小，信用程度越高)； （3） 所购证券的平均到期年限不超过5年。 证券名称 证券种类 信用等级 到期年限/年 到期税前收益/% A 2 9 4.3 市政 B 2 15 5.4 代办机构 C 1 4 5.0 政府 D 1 3 4.4 政府 E 市政 5 2 4.5 试问：
1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？
2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？并考虑利率在什么范围内变化时，投资方案不改变？
在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%,投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？
12、医疗保障基金额度的分配
某集团下设两个子公司：子公司A、子公司B。各子公司财务分别独立核算。每个子公司都实施了对雇员的医疗保障计划，由各子公司自行承担雇员的全部医疗费用。过去的统计数据表明，每个子公司的雇员人数以及每一年龄段的雇员比例，在各年度都保持相对稳定。各子公司各年度的医疗费用支出见下表。
表 公司A、公司B的医疗费用支出（单位：万元） 年度 公司A 公司B 1980 8.28 8.81 1981 8.76 9.31 1982 9.29 10.41 1983 10.73 11.61 1984 10.88 11.39 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993
11.34 11.97 12.02 12.16 12.83 13.90 14.71 16.11 16.40 12.53 13.58 13.70 13.32 14.32 15.84 14.67 14.99 14.56 27