?t表示面积电位矢量的切向分量，下标t表示矢量的切向分量，磁矢量被定义为 其中a
???M?B??0H (2.28)
通过以上公式，我们在任意区域（从理论上）都可以用面和体电流等效为磁性材料。
?这种思想与等效电流替代永磁体是一致的。然后，利用安培力定律，得力的密度Pv为:
???pv?J?B (2.29)
????H?J (2.30)
?????B????B (2.31) pv?????0??????从式2－8可以得到pv的微分形式
pv=??T (2.32)
其中T 为：
?2?1?2?Bx?2B?1??ByBxT??0????BzBx??????BxBz???ByBz? (2.33)
?2??12Bz?B?2???BxBy12By?B2BzBy2
则物体所受的力为:
?F??v??Tdv? (2.34)
利用矢量微分理论，可以把T的体积分转化为面积分得：
??F?T?dS (2.35)
?i我们可以沿着面积的法向和切向方向对T进行积分，定义面积单位矢量的切向分量和法向分量为：
at??syax?sxay (2.36)
an?sxax?syay (2.37) 磁通密度的切向分量和法向分量为：
???????? Bt?B?at?BXsx?Bysy （2.38)
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?? Bn?B?an??BXsy?Bysx (2.39)
最后可得到用麦克斯伟张力法求解的公式，力的切向分量增量dFt和法向分量增量dFn：
dFt?BnBt?0dl (2.40) (2.41)
2Bn?Bt2dFt?dl
2?02.3 ANSYS有限元建模
利用ANSYS8.0建立永磁直线电机样机的有限元模型，具体流程如下：
1.设置有限元分析的物理环境，其中包括各种材料的性质的选定，定义模型的何尺寸及载荷的参数等
首先定义分析的物理环境，在进入程序前选择ANSYS多物理场模块，在进入程序后，改变任务题目对话框，输入名称：2-D model
GUI: Utility Menu>File>Change Title>输入题目2-Dmodel>按OK
然后，定义单元类型，本次建模选择ANSYS提供的PLANE53单元。
GUI：Main Menu>preprocessor>Element Type>Add/Edit/Delete>按Add>选择Magnetic Vector and Vect Quad 8nod53(PLANE53)> 按close
设置计算时的电磁单位制是“米－安培—秒”制
GUI：Main Menu>Preprocessor>Material Props>Electromag Units>按OK,设置单位制为“MKS System”
定义材料特性：根据需要，定义10个材料，具体如表2－1所示。
GUI：Main Menu>Preprpcessor>Material Props>Constant>Isotropic>选择材料号1，再按OK>在“Relative permeability(MURX)”域中输入1>按Apply>新建材料号2-10，重复上述步骤，定义10个材料特性
表2－1材料特性
1号材料 2号材料 3号材料 4号材料 5号材料 6号材料 7号材料 8号材料 9号材料 10号材料 空气 硅钢 线圈1 线圈2 线圈3 线圈4 线圈5 线圈6 永磁体 铸铁 磁导率 B-H曲线 磁导率 磁导率 磁导率 磁导率 磁导率 磁导率 磁导率 矫顽力 B-H曲线 1 emagM54.SI_MPL 1 1 1 1 1 1 1 804000 Oe emagSilicon.SI_MPL 其中Relative permeability（MURX）代表磁导率，Coercive force（MGXX）代表矫顽力。B-H曲线通过 Main Menu>Preprpcessor>Material Props>Read form File从ANSYS材料
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库中导入。
2 建立有限元分析模型，包括建立永磁直线电机的几何模型，给各区域赋于材料属性，对各区域进行划分及细化。
现在在ANSYS8.0中创建永磁直线电机实体模型，先创建电机铁轭的2－D实体模型，长度为510 mm，高度10 mm的矩形，在创建3－D实体模型时需要它的宽度参数为50 mm。 GUI>Preprpcessor>Modeling>Create>Areas>Rectangle>By 2 corners》在弹出框中输入 WPx = 0.255，Wpy = 0 ，Width = 0.51，Height = -0.01>按Apply，由此建立模型所需的所有平面。
然后在ANSYS中取布尔运算，使所以建立的面连成一个实体。
GUI>Main Menu>Preprpcessor>Modeling>Operate>Booleans>overlap>Areas>按pick all
到这里,直线电动机的2-D实体模型就建好了,如图2－2所示，图2-3显示了该电机的3-D实体模型
图2-1 永磁直线电机的2-D实体模型
图2-2 永磁直线电机的3-D实体模型
现在我们对电机2-D实体模型进行划分网格,建立它的有限元模型。划分网格前，先赋予实体模型材料属性。在定义永磁体的时候，需要特别定义它的NS极的方向。 GUI：Main Menu>Preprocessor>-Meshing>Mesh Attributes>Picked Areas
>选择需要定义的面>选择单元和材料号。
图2－2显示了定义完材料属性后的实体模型,其中各种材料用不同的颜色来区分。
图2-3 定义完材料属性后的实体模型
定义完以后，就可以进行网格的划分了，此时需要考虑网格的划分类型和细化程度。在这里，选择细化程度为1（fine），采用自由网格划分方式。
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GUI:MainMenu>Preprocessor>-Meshing-SizeCntrls>-SmartSize-Basic> GUI:Main Menu>Preprocessor>-Meshing->Mesh>-Areas-free>Pick All.
图2-5显示了永磁直线电机的网格划分的有限元模型。
图2-4 永磁直线电机的网格划分
3 加载荷和边界条件
在对永磁直线电机建模分析中，我们在模型上下边选择第一类边界条件，在左右边选择第二类边界条件。
GUI:MainMenu>Solution>-Loads->Apply>-Magnetic->Boundary>-Vector Porten-Flux Par’l-on lines>
为了求解推力和法向力，需要将永磁直线电机初级定义为一个组件，然后加上力标志。 GUI：Utility Menu>Select>Entities>
Utility Menu>Select>Comp/Assembly>Creat Componet
图2－5 加载力标志和边界条件
在对永磁直线电机进行分析中，有时候要在线圈中加上电流载荷，它是以电流密度的形式赋予线圈的。如图2-6所示。
GUI MainMenu>Solution>-Loads->Apply>-Magnetic->Excitation>-Curr Density-On Elements,
图2-6 永磁直线电机加载后的示意图
现在，我们已经建立了一个永磁直线电机的有限元模型。接下去的工作就是对模型进行求解。求解需要注意分析类型和求解器的选择。具体可以参考附录中ANSYS8.0电磁场分析的使用说明。
2.4 网格的划分和单元的选择
2.4.1网格的划分
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进行有限元分析，首先必须进行网格的划分，是有限元处理中主要工作，也是整个有限元分析的关键工作，它将集合模型转化为节点和单元构成的有限元模型。网格划分的质量和优劣将会对计算结果产生相当大的影响，其好坏直接影响到计算的准确性和计算进度。划分不合理甚至会导致计算不收敛。
为了建立正确，合理的有限元模型，在划分网格是应考虑以下基本原则： 1．网格数量
网格数量多少影响计算结果的精度和计算规模的大小，但要考虑计算时间的影响。在决定网格数量时也应考虑分析数据的类型。
2．网格疏密
网格疏密时指在结构不同部位采用大小不同的网格，这也是为了适应计算数据的分布特点。在计算数据变化梯度较大的部位（如应力集中处），为了较好地反映数据变化规律，需要采用比较密集的网格。
3．单元阶次
许多单元都具有线性，二次和三次等形式，其中二次和三次形式的单元称为高阶单元。选用高阶单元可提高计算精度，因为高阶单元的曲线或曲面边界能够更好的逼近结构的曲线和曲面边界，且高阶单元的节点数较多，在网格数量相同的情况下由高阶单元组成的模型规模要大的多，因此需要考虑计算精度和时间。
其他的原则还包括网格质量，网格分界面和位移协调性。
因为建立的永磁直线电机有限元的实体模型几何结构比较清楚，我们将采用自由划分网格的方式对永磁直线电机进行划分。
需要特别指出的是，在划分网格的疏密程度上，考虑到气隙层比较薄，太疏的的网格不能准确划分，因此我们对网格划分的疏密程度做了一定的要求。
2.4.2单元的选择
在ANSYS8.0的 2-D 静态磁场分析中，可供选择的单元类型如下表所列：
表2－2 可选择单元类型
类型 PLANE13 2-D实体单元 PLANE53 INFIN9 远场单元 INFIN10 2－D 2－D 2－D 维数 2－D 形状 四变形，4节点 三角形，3节点 四变形，8节点 三角形，3节点 线性 2节点 四变形，4节点 或8节点 通用电路单元，6节点。 自由度 磁矢势（AZ），位移，温度或时间积分电势 磁矢势（AZ），位移，温度或时间积分电势 磁矢势（AZ）， 磁矢势（AZ），位移，温度 磁矢势（AZ）位移，温度或时间积分电势 通用电路单元 CIRCU124 无
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