第八章 能量原理及其应用
件。因此，满足变分方得(8.2-3)式的解就一定满足平衡方程和应力边界条件。所以，虚位移原理也可表述为：变形连续体平衡的必要与充分条件是，对于任意微小虚位移，外力所做虚功等于变形体所产生的虚变形能。
应当指出，式(8.2-3)等号左边表示，由于产生虚位移?ui而引起物体内产生了虚应变能。这种虚位移实际上应理解为真实位移的变分，而不是其他随便—种位移函数。也就是说。式(8.2-3)中的虚应变??x,?,??xy?不是别的什么虚应变，而是由?u,?v,?w引起的，即它们之间满足下列条件
1??ij?(?ui,j??uj,i) (8.2-7)
2此外，位移ui在己知位移边界Su上还应满足ui?ui，因此在己知位移边界Su上虚位移应为零，即
?ui?0 (8.2-8) 式(8.2-7)和(8.2-8)为方程(8.2-3)式的附加条件。因此，在应用虚位移方程式(8.2-3)时，所选取的解不必预先满足平衡力程和应力边界条件，但要求所给虚位移?u,?v,?w能满足附加条件(8.2-7)式和(8.2-8)式，即应满足变形协调条件和几何边界条件。
应当指出，由于虚位移原理的成立与材料本构关系无关，因此，虚位移原理既适用于线弹性体、非线性弹性体，也适用于弹塑性体和理想塑料体等固体材料。
例8.1 如图8.2所示跨长为l，抗弯刚度为EI，受分布荷重q(x)作用的简支梁，试用虚位移原理写出梁的挠曲线微分方程和边界条件。
解: 梁在平衡状态时，如果产生一虚 位移?w，由虚位移原理
?U??W (1)
此处 ?U??[??x??xdA]dx (2)
0Al 由材料力学知，有 图8.2 受均布荷重简支梁
?x??zw\,根据变分法则知
??x??z?(w\)??z(?w)\ (4) 将式(3)、(4)代入式(2)并整理后，得
?x??Ezw\ (3)
?U??l0??Ezw?z(?w)dA?dx?EI?w(?w)dx
\\l\\A0对上式进行两次分布积分后，可化为
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第八章 能量原理及其应用
l?? ?U?EI?w\(?w)'l0?w(3)'?wl0??w(4)?wdx? (5)
0??外力所做虚功为
?W??q(x)?wdx (6)
0l将式(5)、(6)代入式(1)，则得
?EIw(4)?q(x)?wdx?EIw\(?w)'0l??l0?EIw(3)?wl0?0 (7)
由于在支座处的虚位移应满足简支条件要求，所以边界条件为
x?0:x?l:?
?w?w?0??\?w?w\?0??考虑?w的任意灶，于是要使式(7)成立，必有
EIw(4)?q(x)?0 (8) 式(8)即为该梁的挠曲线微分方程。
例8.2 如图8.3所示受均布荷重q的简支梁，抗弯刚度为EI，跨中由弹性支
座支承，试写出梁的边界条件和挠曲线微分方程。
解﹕ 由例8.1知，变形能经两次分部
积分后为
l?\?'l(3)'l ?U?2EI?w(?w)0?w?w0??w(4)?wdx?
0?? 图8.3 受均布荷重简支梁 令弹簧内的反力为R，则外力功为 ?W?2?q?wdx?R?wc (9)
0l式中wc为梁在弹性支座C处的挠度。因?U??W，因此可由以上两式得 2?(EIw(4)?q)?wdx?2EIw\(?w)'0ll0?2EIw(3)?wl0?R?wc?0 (10)
于是，由式(10)可知，根据简支条件和对称条件，边界条件应为
(?w)'x?l?0,(?w)x?0?0,w\x?0?0
同时，考虑到?w除弹性支座处外，均为任意性，要使式(10)成立，必有
(?w)x?l??wc,挠曲函数必须满足
2EIw(3)x?l?R
EIw(4)?q?0
及
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第八章 能量原理及其应用
wx?0?0,w,x?l?0。
2.2 最小势能原理
从位移变分方程(8.2-3)出发，可以导出虚功方程。假定物体从平衡位置有微小虚位移，物体的几何尺寸的变化略去不计，则原来作用在物体上的体力X,Y,Z和面力X,Y,Z的大小与方向都保持不变。于是，按照变分原理，式(8.2-3)中变分的运算与积分的运算可以交换次序，故有
????(?x?x??y?y??z?z??xy?xy??yz?yz??zx?zx)dVV??????(Xu?Yv?Zw)dV???(Xu?Yv?Zw)dS?VS (g)
由第四章的(4.1-5a)知，有
?ij??U0 ??ij在式(g)中左边积分项中引入各向同性弹性体的广义虎克定律，并注意到
?ij?ij??x?x??xy?xy??xz?xz??yx?yx??y?y??yz?yz??zx?zx??zy?zy??z?z1222???????(?xy??yz??zx)22x2y2z
则有
U0?G?ij?ij?由第四章知，式中???x??y??z??ii。 在式(h)中代入应变位移关系，得
U0(u,v,w)????uE??u?v?w2?v?w?(??)?G?()2?()2?()2?2(1??)(1?2?)?x?y?z?y?z???xG??u?v2?w?v2?u?w2?(?)?(?)?(?)?2??y?x?y?z?z?x???2?2 (h)
(8.2-9)
当存在应变能U0(ui)时，式(g)可写为
????U0(ui)dV??V????(Xu?Yv?Zw)dV???(Xu?Yv?Zw)dS??0
VS于是有
??P??(U?W)?0 (8.2-10a) 也可写为
??P??(U?V)?0 (8.2-10b) 其中
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第八章 能量原理及其应用
?p??[U0(ui)?fiui]dV??FiuidS (8.2-10c)
VS?附加条件为
ui?ui (在Su上) (8.2-10d) 式中?p称为总势能，V(=-W)称为外力势能，U称为弹性变形体的应变势能。当物体在不受外力作用的自然状态下，应变势能与外力的势能均为零。式(8.2-10)说明，在给走的外力作用下，实际的位移应使总势能的一阶变分为零，即使总势能取驻值。下面进一步让明有真实的位移总是使物体的总势能取最小值。 对于稳定的平衡状态，物体偏离平衡状态而有虚位移时，其总势能的增量恒为正。实际上可以让明，总势能量?P的二阶变分为正。为此，令ui'为变形许可的
'位移场，ui为真实解的位移场，与之相应的应变张量分别为?ij和?ij，于是当物体
有虚位移时，有
ui'?ui??u,'?ij??ij???ij
'将U0(?ij)进行泰勒级数展开，并忽略二阶以上的高阶微量，可得
?U01?2U02 U0(?)?U0(?ij)? (k) ??ij?(??)ij2??ij2??ij'ij于是，变形许可状态的总势能与真实变形状态总势能之差为
' ?'p??p??U0(?ij)?U0(?ij)dV??fi?uidV??Fi?uidS (l)
VVS???因为
1 ?'p??p???p??2?p?? (m)
2由式(8.2-9)知
??p???U0dV??fi?uidV??Fi?uidS?0 (n)
VVS?比较式(k)，(m)可得
?2U01 ??p???U0dV????ij??kldV (q)
VV2??ij??kl22当??ij足够小时，式(q)必为正，因为如果令?ij?0，则?ij?0，则式(k)可化为
1?2U02 U0(??ij)?(??)ij22??IJ从而得
'?'p(?ij)??p(?ij)??2?p??U(??ij)dV
V 201
第八章 能量原理及其应用
由式(h)知，U0(?ij)为正定，所以 ?2?p?0,?'p??p (8.2-11)
上式表明如下一个原理：在给定外力作用下而保持平衡的弹性体，在满足位移边界条件的位移场中，真实的位移场使总势能取最小值。该原理称为最小势能原理。 物体在外力作用下所产生的位移场，除了满足位移边界条件外，还必须满足以位移表示的平衡力程以及应力边界条件。最小总势能原理说明，真实的位移除满足几何边界条件外，还要满足最小势能原理的变分方程。实际上以上已经证明．变分方程(8.2-3)完全等价于平衡力程与应力边界条件。同样的结论也适用于式(8.2-9)。用最小势能原理和用泛定方程求解边值问题，只是形式上不同。以后将看到，这种解题手段的变更，在不少情况下．将带来很大的力便，同时也扩大Ｉ解题的范围。
由最小总势能原理可导出熟知的卡氏(Castigliano)第一定理：当应变能U0 用广义位移表示为U0(?i)对，则广义力Fi=?U0(?i)/??i。
例8.3 试由最小势能原理，弄略去剪应力影响，导出图8.2所示梁的挠曲线方程。
解:根据应变能密度和虎克定律，梁的变形能为有
12?xdxdydz (1) U??U0dV????V2EV由材料力学知，其中
My, ?x?Id2wM??EI2，dxI???y2dzdy (2)
A将式(2)代入式(1)，经整理后得
1ld2w2 U??EI(2)dx (3)
20dx外力功为
W??qwdx
0l根据最小势能原理??P??(U?W)?0的变分量为?w，并注意到 dwd?w'??()??w?(?w)'
dxdx?EI(w\)2?2EIw\(?w)\?2EIw\?(w\)
因而
202