第八章 能量原理及其应用
??p??EIw(?w)dx??q?wdx (4)
00l\\l将上式等号右边第一项分部积分两次，可得 ?EIw\(?w)\dx?EIw\(?w)'0ll0?EIw(3)?wl0??EIw(4)?wdx (5)
0l对于简支端，有边界条件为 EIw\(?w)'ll0?EIw\?wl0?0 (6)
将式(5)代入式(4)，并注意到(6)，得
?(EIw0(4)?q)?wdx?0
由于?w任意性，因此有
EIw(4)?q?0
上式即为梁的挠曲线方程。
8.3 位移变分法的应用
基于虚位移原理的位移变分力程，提供了以位移作为基本未知数的弹塑性力学问题的近似解法。瑞利—里兹(Rayleigh-Ritz)和伽辽金(Galerkin)提出了各自解法，现分别介绍如下： 3.1 瑞利—里兹法
当给定面力和几何约束条件时，可以利用位移变分方程求解。因此时应力边界条件和位移边界条件为已知，由虚位移原理或最小势能原理所导出的变分方程(8.2-3)和(8.2-10a)均等价于平衡方程和应力边界条件，所以采用式(8.2-3)和(8.2-10a)求解肘，所选取的位移函数不需要先满足应力边界条件，只需满足位移边界条件。 设位移函数为
?u?u0??akuk(x,y,z)?k?1?n? v?v0??bkvk(x,y,z)? (8.3-1)
k?1?n?w?w0??ckwk(x,y,z)?k?1?n式中，ak,bk,ck为未知的待定的常数，u0,v0,w0满足边界条件，即在已知位移边界
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第八章 能量原理及其应用
Su上，应有
u0?u,知位移边界Su上满足
v0?v,w0?w
而uk(x,y,z),vk(x,y,z),wk(x,y,z)(k?1,2,?,n)为坐标线性独立的识定函数，且在己
uk(x,y,z)?vk(x,y,z)?wk(x,y,z)?0,(k?1,2,?,n)
这样，无论n如何取值，位移函数总是能满足位移边界条件。
由于uk(x,y,z),vk(x,y,z),wk(x,y,z)是设定的已知函数，因此对位移进行一阶
变分时，只需对系数ak,bk,ck取一阶变分，即
?u??uk(x,y,z)?ak，?v??vk(x,y,z)?bk,k?1k?1nn?w??wk(x,y,z)?ck (a)
k?1n将式(8.3-1)代入虚位移原理变分方程(8.2-3)或最小势能原理变分方程(8.2-9a)，由?ak,?bk,?ck的任意性，可得确定全部系数ak,bk,ck的线性代数方程组。例如，将式(8.3-1)代入式(8.2-10a)，可得
???U??U?U??????a??b??ckkk????(ukX?ak?vkY?bk?wkZ?ck)dV??aV?bk?ckk?1??k ?n???ukX?ak?vkY?bk?wkZ?ck??0S??式中系数?ak,?bk,?ck的变分是完全任意的，彼此无关。于是，将上式整理后得
??U?XukdV???XukdS?S?ak???V???U?Yvkdv???YvkdS? (8.3-2) S?bk???V???U?ZwkdV???ZwkdS?S?ck???V?由应变能函数表达式(8.2-9)及位移分量表达式(8.3-1)可知，应变能U应是待定系数ak,bk,ck的二次函数，因而式(8.3-2)将是各个待定系数的线性方程组，共有3n个方程。从方程组(8.3-2)可解全部系数ak,bk,ck后，即可由式(8.3-1)求得位移分量。式(8.3-2)也可写为
??0??ak????p? ?0? (k?1,2,?,n) (8.3-3)
?bk????p?0???ck???p 204
第八章 能量原理及其应用
这一方法称为瑞利-里兹法，也称为里兹法。
选择合适的u0,v0,w0和uk,vk,wk，以及项数n，可以获得精确度较高的位移解。
将求得的位移代入用位移表示的应力表达式，在计算应力分量时需对位移求导，通常近似解的精度往往会因求导而降低，因此应力近似解的精度一般都较差。这是因为应力分量并不精确地满足平衡方程，只是满足平衡方程与一个加权函数ui乘秋的积分为零的条件，即
??P???????V(?ij,j?fi)uidV???S(?ijnj?Fi)uidS???0
???要提高精度，只有增加式(83.3-1)中位移函数的项数n，当项数n??时，则其解将收敛于精确解。 3.2 伽辽金法
如果选择的位移因数表达式(8.3-1)，不仅能满足位移边界条件，还能满足应力边界条件，那么变分方程(8.2-3)或(8.2-10a)为
?U??W
或
?U0???V??ij??ijdV????Vfi?uidV???SFi?uidS????V?ij?ui,jdV (8.3-4)
????ijnjdS?????ij,j?uidVSV注意到所取位移函数满足应力边界条件，因此由上式得
???(?Vijj,?fi)?uidV?0
即
????x??xy??xz????yx??y??yz???????V???x??y??z?X??u???x??y??z?Y???v?????????zx??zy??z????????Z??w?dV?0??y?z????x? (b)
将式(b)展开为三个方程，则每个方程均含有n个积分，并注意到变分关系式(a)和?ak,?bk,?ck为任意值，所以耍使式(b)成立，则只能每个积分式均等于零，于是可得
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第八章 能量原理及其应用
????x??xy??xz??????XudV?0????V??x?y?z?k???????yx??y??yz??????YvdV?0 ???V?? (k?1,2,?,n) (8.3-5) ?k??x?y?z???????zx??zy??z??????V???x??y??z?Z?wkdV?0????对于各向同性弹性变形体，将以上三个方程中的应力分量，通过广义虎克定律方程(4.2-14b)、几何方程(3.2-9)转换用位移分量表示，可得
?E?1????V??2(1??)?1?2??E?1? ????V2(1??)?1?2????E?1????V?2(1??)?1?2?????????2u??X?ukdV?0??x????????2???v??YvdV?0??k??y???????2???w??Z?wkdV?0???z????k?1,2,?,n? (8.3-6)
式中???u?v?w。由式(8.3-1)可知，位移分量u,v,w是系数ak,bk,ck的线性???x?y?z函数，所以式(8.3-5)和式(8.3-6)将是这些系数的线性方程组。求解此方程组，可解得3n个系数，从而由式(8.3-1)求得位移分量。这个方法称为伽辽金法。
比较以上两种基于虚位移原理的近似计算方法可知，在位移函数的选择上，伽辽金法比瑞利-里兹法更为严格，它不仅要满足位移边界条件，还必须满足应力边界条件；但在应用上伽辽金法比较方便，因为可不必导出泛函。仅根据熟知的平衡方程就能列凼伽辽金方程。
例8.4 如图8.4所示受均布荷重悬臂梁，梁跨长为l，抗弯刚度为EI，试根据初
等理论，不计体力和用瑞利-里兹法和伽
辽金法分别求梁的挠度和固端弯矩。
解：(1) 瑞利-里兹法求解
当不计剪切对挠度的影响，现设
挠曲线方程为
图8.4 受均布荷重悬臂梁 w(x)?a(1?cos上式满足固定端条件
?x2l) (1)
w(0)?0,dw?0 dxx?0 206
第八章 能量原理及其应用
由初等理论知，梁的弯矩为
d4w??xM(x)??EI4?EI()2acos
2l2ldx梁的变形能为
1l21l??2?x?EI?42?M(x)dx?EI2acos?dx?a (2) U?3????002EI2EI?4l2l?64l2对于本问题，应用瑞利-里兹法，位移函数表达式(8.3-1)仅保留第三式，又因所选位移函数式(1)满足边界条件，所以相应的线性方程组(8.3-2)也仅保留第三式。在不计体力的条件下，该式成为 l?U?x??q(1?cos)dx (3)
0?a2l将式(2)代入式(3)后，并求解可得
ql4322(1?) (4) a?4??EI将式(4)代入式(1)，得梁的挠曲线表达式为
ql4322?x(1?)(1?cos) (5) w(x)?4?2l?EI最大挠度发生在x?l处，即
wmaxql4322ql4?4(1?)?0.1194
?EI?EIql4ql4??0.125误差仅为4.5%。 8EIEI这个结果与材料力学解解wmax 利用
d2w8ql22?xM(x)??EI2??2(1?)cos
?2ldx?可得
Mmax?Mx?0??8ql2?2(1?2?)??0.2945ql2
ql2与精确解MX?0????0.5ql2相比，误差达41%。
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