第八章 能量原理及其应用
4.2 最小余能原理
由虚应力原理可直接导出最小总余能原理。为避免混乱，今后把用应变表示的弹性应变能函数U(?ij)称为应变能函数，或应变能；而把用应力表示的应变余能函数称为余应变能函数，或余变余能(或应力能)，记为U'(?ij)。如在虚应力原理中引进广义虎克定律，并认为应变状态是有势的，应变分量可由余应变能函数导出，即
'?U0(?ij)?ij?而
??ij
'?U0??ij??ij
于是由上式可知，总的应变余能的变分为
'?U'?????U0(?ij)dV?????ij??ijdV
VV因此，式(8.4-4)可化为
???V?U0'(?ij)dV???S(u?X?v?Y?w?Z)dS?0 (8.4-5a)
u如果存在虚应力时，在边界Su上，位移分量应保持不变。于是可将上式中的变分符号置于积分号外，即
'U(?ij)dV???(uiFi)dS??0 (8.4-5b) ??0????V?S?u?其中Fi是在已知位移边界由虚应力引起伪附加表面面力。显然，在此情况下附加条件为
(在V内)?? ? (8.4-6)
?ijnj?Fi?0(在S?上)??如果令变形体的余能为
'?'P????U0(?ij)dV???uiFidS
VSu?ij,j?fi?0则有
??'P?0
上式说明，在所有满足平衡方程和应力边界条件的静力许可的应力场中，真实的应力场使余能取极值。进一步还可证明
?2?'P?0
因此，最小余能原理可表述为：在所有满足平衡方程和应力边界条件的静力许可的应力场中，真实的应力场使余能取最小值。
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第八章 能量原理及其应用
最小余能原理和最小势能原理均适用于线性和非线性弹性体。
由于真实的应力场既满足平衡方程，应力边界条件，又满足变形协调条件。可见，最小余能原理因真实的应力场满足平衡方程，应力边界条件，以及使余能取最小值的条件，所以最小余能原理与变形协调条件等价。 下面指出最小余能原理的特殊情形。
当物体全部表面力给定，则面力的变分为零，由式(8.4-5)得
??'P??U'?0 (8.4-7) 式(8.4-7)称为最小功原理。该原理可表述为：若物体的面力给定，则在所有满足平衡方程和边界条件的应力场中，真实的应力场必使余应变能取最小值。＂寸于线弹性体，因余应变能与应变能相等，因此又称(8.4-7)式为最小应变能原理。当最小余应变能原理用于线弹性力学问题则可导出熟知的卡氏第二定理。
8.5 应力变分法与应用
基于与位移变分法类似的思想，通过应力变分方程，以应力分量作为基本未知数，取得变形物体的近似解答。 5.1应力变分法
应力变分法是设定某一个应力分量表达式，其中包含了若干待定常数，使其满足平衡方程和应力边界条件，然后通过应力变分方程决定这些常数。 帕普考维奇(Πапковиц，Π.Φ)建议取应力分量为
nn?x????Ak?,0xkxk?1n0k??Ak?y, ?y??yk?1nk?xy????Ak?xy?0xyk?1n??yz?zx?z????Ak?zk,0zk?1?0k???yz??Ak?yz? (8.5-1)
k?1?n?0k??zx??Ak?zx?k?1?00其中，?x,?,?xy,?是选定的满足平衡方程和应力边条件的设定函数，而kk?x,?,?xy,?是选定的满足体力为零的平衡方程和面力为零的应力边界条件的设
定函数，Ak是n个独立的待求系数。于是，不论常数Ak取何值，式(8.5-1)中的应力分量?x,?,?xy,?总能满足平衡方程和应力边界条件。如前所述，像对位移的变分一样，对式(8.5-1)应力分量的变分也是通过对待定常数Ak变分来实现。至于各个设定的函数，则仅是给定坐标位置x,y,z的函数，与应力的变分无关。因此，有
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第八章 能量原理及其应用
??x????Ak,kxk?1nk?Ak, ??y???yk?1nnk??xy???xy?Ak?k?1nn???yz??zx??z???zk?Ak,k?1??k???yz?Ak? (8.5-2) k?1?n?k???zx?Ak?k?1? 对于应力变分方程(8.4-4)和(8.4-5)有两种可能情况； (1) 当给定面力或给定位移为零时，由最小功原理，有
?U'?0
?U'?U'?U'?U??A1??A2????An?0
?A1?A2?AN'根据?A1,?A2,?,?An的任意性，可得
?U' ?0,?Ak(k?1,2,?,n) (8.5-3)
式(8.5-3)即为确定待定常数Ak的线性方程组。求得Ak后，则可获得问题的解。 (2) 当给定位移不为零时，应力变分方程为
?U'???(u?X?v?Y?w?Z)dS (a)
Su式中u,v,w是已知的表面位移，上述积分只在这部分边界进行，而这部分边界上，面力和应力两者的变分应服从式(8.4-2)，即
l??x?m??xy?n??xz??X?? l??yx?m??y?n??yz??Y?? (b)
?l??zx?m??zy?n??z??Z??将式(8.5-2)代入上式，并计算式(a)的积分，可求得
??(u?X?v?Y?w?Z)dS??Dk?Ak (c)
Suk?1n式中Dk为常数，由下式计算
kkkkkkkk Dk???u?xl??xym??xzn?v?yxl??ym??yzn?w?zxl??zyn??zk?dS (d)
Su????n???另一方面，有
?U' ?U???Ak (e)
k?1?Ak' 215
第八章 能量原理及其应用
将式(c)，式(e)代入式(a)，并考虑到?Ak的任意性，得
?U' ?Dk,?Ak(k?1,2,?,n) (8.5-4)
式(8.5-4)仍是待定常数的线性代数方程式。
由以上分析可知，对于所选定的应力分量同时满足平衡方程和应力边界条件往往是十分难办到的。但在巳经讨论过的问题中，如平面问题，柱体的扭转，应力分量是以应力函数表示，此时，用应力函数表示应力分量已经满足了平衡方程，余下的问题就是应力边界条件了。对于这类问题，求解时困难就少了，从而扩大了应力变分原理的应用范围。 5.2 应力变分法在平面问题中的应用
在平面问题中，应力分量为?x,?y,?xy，且各分量仅仅是x,y的函数，并不随坐标z变化。对于平面应力问题，如果在z力向取单位长度，则弹性体的应变余能表达式为
1222?x??y?2??x?y?2(1??)?xydxdy (8.5-5) ??2EAE?E对于平面应变问题，以代替，以代替?，可得 21??1??1??222(1??)(???)?2????2?dxdy (8.5-6) U'?xyxyxy2E??A U'????? 如果弹性体是单连体，体力为常数，且是应力边界问题，则应力分布与材料的弹性常数无关。此时，为了计算方便，可在式(8.5-5)和(8.5-6)中取??0，于是对于平面应力和平面应变两种情况下的弹性体的应变余能，可统一写成
1222????2?dxdy (f) U'?xyxy??A2E??当体力为常数时，根据式(6.2-4)，应力分量用应力函数?可表达为
??2??x?2?Xx??y?2???? ?y?2?Yy? (g)
?x?2????xy????x?y??将式(g)代入式(f)，则有
2222???????2???1????'????dxdy (8.5-7) U??Xx????Yy??2?22????????A2E???x???y???x?y???? 216
第八章 能量原理及其应用
设应力函数为
?(x,y)??0(x,y)??Ak?k(x,y),k?1n(k?1,2,?,n) (8.5-8)
式中：?0给出的应力分量满足实际的应力边界条件；?k给出的应力分量满足面力为零时的应力边界条件；Ak为互相独立的n待定常数。
如用线性代数方程组(8.5-4)求解，则可将式(8.5-8)代入(8.5-7)后，对Ak求偏导，并使其为零，即得
???2?????2????2?????????Xx???2?Yy?22???A?????A?A?y?y?x?????kk??
?2????2??????2??dxdy?0?x?y?Ak??x?y???解上述方程，则可决定待定常数Ak。 例8.5 矩形薄板在x??a的边界 上受到抛物线分布的拉力作用，其最 大集度为q，如图8.5所示。不计体 力，试用应力变分法确定板内的应力 分量。
??2?????x2???? (8.5-9)
解：边界条件为 图8.5 受抛物线分布拉力作用矩形薄板
x??a,y??b,?y2?x?(1?2)q，?xy?0?b? (1)
??y?0,?yz?0?由式(8.5-8)和式(1)，并考虑到结构与载荷的对称性，选应力函数?(x,y)为
12y2x22y222?(x,y)??0(x,y)??Ak?k(x,y)?qy(1?2)?qb(1?2)(1?2)26babk?1n
??x2y2x4x2y2y4???A?A?A?A?A?A??2345622424?1?abaabb?? (2a)
12y2显然，?0(x,y)?qy(1?2)满足应力边界条件式(1)。
26b 现进行一次近似计算，即取应力函数为
12y2x22y222 ?(x,y)?qy(1?2)?A1qb(1?2)(1?2) (2b)
26bab 注意到?为x,y的偶函数，于是式(8.5-9)化简为
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