第八章 能量原理及其应用
如果取挠曲线函数为
w(x)?a1(1?cos?x2l)?a2(1?cos3?x) 2l此式也能满足前述边界条件。
2????2?x?3??3??M(x)?EI???a1cos???a2cos?
2l?2l?2l????2l??22EIl?????x?3??3??EI?322 U?acos?acosdx?a?27a??????12122?02?2l?2l?2l?32l??2l??2??根据瑞利-里兹法
l?UEI?3?x?a?q(1?cos)dx1?0?a132l32l???? 3l?U27EI?3?x??a?q(1?cos)dx2?0??a22l32l3?解以上联立方程，可得参数为
ql4322a1?4(1?)，??EIql4322a2?4(1?)
3??27EI故挠曲线为
32ql4w(x)?4?EI??2???x?1?2??3?x??1?1?cos?1?1?cos????????? ??2l273?2l??????????则最大挠度和最大弯矩分别为
ql4?w(l)max?0.129?EI?
M(0)max??0.318ql2?? 由上式可见，无论挠度还是弯矩，其精度均有所提高，但弯矩提高不大明显。如果将挠曲函数的项数增加，则随项数的增大，无论是挠度值还是应力值均会逐步接近精确值。 (2)伽辽金法解
依据伽辽金法位移函数不仅要满足位移边界条件，而且还要满足静力边界条件，因此设想取挠曲线函数为
w?a(x4?Ax3?Bx2) (6) 由梁固定端位移边界条件w(0)?0,dw?0，可知满足位移边界条件。同时满足dxx?0208
第八章 能量原理及其应用
静力力边界条件。再由自由端的静力边界条件，w\(l)?w'\(l)?0，可解得
A??4l,因此，梁的挠曲线函数为
B?6l2
w(x)?a(x4?4lx3?6l2x2) (7) 由伽辽金方程(8.3-5)知，因在x,y方向无外载荷，又由初等理论知，第一、二式自动满足，因此(8.3-5)式化为
???zx??ZwkdV?0 ????V??x??即
??(FS)z??q??wkdx?0 ?0??x?l式中?FS?z系梁中的剪力,wk?(x4?4lx3?6l2x2)。再由材料力学知
EIw(3)??FS(x)，所以上式化为
?(?EIw(4)?q)(x4?4lx3?6l2x2)dx?0 (8)
0l将式(6)代入式(7)，并积分后得
a?q 24EI将它代入式(6)，最后得挠曲线表达式、是大挠度和最大弯矩分别为
qw(x)?(x4?4lx3?6l2x2)
24EIw(l)maxql4? 8EIM(0)maxd2wql2??EI2??
2dx这个结果与材料力学结果完全相同。
209
第八章 能量原理及其应用
8.4 虚应力原理和最小余能原理
虚位移原理是从位移变分出发可直接求出位移分量。但在工程实际问题中，往往感兴趣的是直接得到表征结构强度的应力分量。而位移变分法得到的位移分量，必须通过几何方程和本构方程求出烹形体内的应力分量，在计算过程中因需经多次微分往往会产生较大的误差。为此，真接以应力分量为未知数求解变形体问题的应力法便具有重要的价值。同时，对一些特殊的问题，例如，平面问题，柱体扭转等，可以引进应力而数，此时应力法更具有极大的方便。 4.1 虚应力原理
对于处于平衡状态的变形体应用变分原理时，取虚位移?ui，即对位移分量进行变分，这些位移的变分必须是几何上可能的。为此，引入虚应力概念。所谓虚应力是满足平衡方程及指定的力边界料的、任意的、微小的应力。虚应力记为??ij，即对应力分量进行变分，这些应力的变分必须是静力上可能的，即经变分后，新的应力分量必须满足平衡方程和应力边界条件。
设?ij为实际存在于变形体内的应力分量，则它应该满足平衡方程，应力边界
条件和应力协调条件。现让这些应力分量发生静力许可的微小变化，得到新的应力分量为
' ?ij??ij???ij (a) 它们必须满足平衡方程和应力边界条件，于是新的平衡方程为
??(?x???x)?(?xy???xy)?(?xz???xz)???X?0??x?y?z???(?yx???yx)?(?y???y)?(?yz???yz)? ???Y?0? (b)
?x?y?z???(?zx???zx)?(?zy???zy)?(?z???z)???Z?0???z?y?z?式中X,Y,Z为给定的体力，设想没有改变。将式(B)与发生应力变分前的平衡方程相减，得
????(??x)?(??xy)?(??xz)?0??x?y?z????? (??yx)?(??y)?(??yz)?0? (8.4-1)
?x?y?z?????(??zx)?(??zy)?(??z)?0??x?y?z? 210
第八章 能量原理及其应用
变形体的表面分为两帝分，即给定面力的部分表面S?和给定位移部分的表面Su。在表面力没有给定的边界Su上，由于应力分量的变化，表面力也发生相应的变化，即?X,?Y,?Z。新的表面力变成
X??X,Y??Y,Z??Z
因此，新的应力分量在此边界面上应满足边界条件，即
(?x???x)l?(?xy???xy)m?(?xz???xz)n?X??X???(?yx???yx)l?(?y???y)m?(?yz???yz)n?Y??Y? (c)
?(?zx???zx)l?(?zy???zy)m?(?z???z)n?Z??Z??将式(c)与原边界条件式相减，得
l??x?m??xy?n??xz??X?? l??yx?m??y?n??yz??Y?? (8.4-2)
?l??zx?m??zy?n??z??Z??此外，对于表面力已给定的边界S?上，表面力不能变化，即
?X??Y??Z?0
故应力变分在该边界上应满足的条件为
l??x?m??xy?n??xz?0?? l??yx?m??y?n??yz?0? (8.4-3)
?l??zx?m??zy?n??z?0?因此，为了使应力变分是静力许可的，它必须满足式(8.4-1)、(8.4-2)和式(8.4-3)。于是，应力余能的变分，参照(8.1-4)式或(8.2-2a)可写为
?U'????V(?x??x??y??y??z??z??xy??xy??yz??yz??zx??zx)dV (d)
将几何方程代入上式，得
?u?u?v??x???(?)??xy??]dV (e) ?x?y?x ?U'????V[将上式内各项进行分部积分并利用格林公式，得如同下列形式的三个关系式
???V(?u????x)dV????(u??x)dV????u(??x)dVV?xV?x?x (f)
????ul??xdS????u(??x)dVSV?x和如同下列形式的另外三个关系式
211
第八章 能量原理及其应用
???V(????v?u??)??xydV???(vl?um)??xydS?????v(??xy)?u(??xy)dV? (g) sV?x?y?y??x?将式(f)、(g)代入式(d)，得
?U'???[u(l??x?m??xy?n??xz)?v(l??yx?m??y?n??yz)S???(??x?(??xy)?(??xz)](g)
V?x?y?z???????v[(??yx)?(??y)?(??yz)]?w[(??zx)?(??zy)?(??z)]}dV?x?y??x?y?z?w(l??zx?m??zy?n??x)]dS????{u[由式(8.4-1)知，上式中对体积的积分项为零；并注意在已知表面力的边界S?上，应满足式(8.4-3)，而在已知位移的边界Su上，因u?u,v?v,w?w，且在该边界因虚应力产生的附加面力应满足式(8.4-2)。因此，由式(8.3-2)可知，上式可简化为
?U'???S(u?X?v?Y?w?Z)dS (f)
u该变分方程等式的右边部分表示表面外力的增量?X,?Y,?Z与实际位移
u,v,w所作的功,同时注意式(d)，因而式(f)可写为
???(?????????????
???(u?X?v?Y?w?Z)dSVxxyyzzSuxy??xy??yz??yz??zx??zx)dV (8.4-4)
式(8.4-4)表示虚应力原理，又称虚功原理，表述为：当物体在已知体力和面力作用下处于平衡状态时，微小虚面力在实际位移所作的虚功，等于虚应力在真实应变所产生的虚应变余能。显然，式(8.4-4)成立的附加条件为式(8.4-1)和式(8.4-3)。该两式可简写为
??(??ij),j?0????Fi?0(在V内)(在S?上)
由以上讨论可以看出，虚应力原理和虚位移原理在形式上是互补的。和虚位移原理一样，虚应力原理的成立也与材料的本构关系无关。
应当指出，在虚位移原理中包含了实际的外力和内力，因而可理解为虚位移原理是对系统平衡的要求；而虚应力原理则包含有实际的位移和应变，所以可把虚应力原理看作是对物体变形协调的要求。实际上，由虚应力原理的变分方程(8.4-4)不难导出变形协调方程，这就是说式(8.4-4)等价于应变协调条件。于是，按式(8.4-4)解题时，对于所设解答，不必预先满足变形协调条件，只须使虚应力
??ij满足物体的平衡方程和应力边界条件。
212