第八章 能量原理及其应用
4?a0?b0??2????2???2????2???2????2??????2???2???2?dxdy?0 2?2??????x?y?A1??x?y????y?A1??y??x?A1??x?将(2b)式代入上式，积分并整理后得
?64256b264b4?A1??7?49a2?7a4???1 ??对于a?2b的矩形板，由上式得
A1?0.09074
将A1代入式(2)，则应力函数为
12?y2?(x,y)?qy??1?6b22??x22??qb???0.09074?1?a2??????2?y2??1?b2???? ?2相应的应力分量为
?y2?x?q??1?b2???x2?q???0.36296?1?a2??????22?3y2??1?b2??3x2??y2??y??0.36296q??1?a2????1?b2???????x2??y2?xy?xy??1.45184q??1?a2????1?b2??a2?????????????? ?????在板小心处x?y?0，得到应力为
??如果所选应力函数的项数适当增加，则精度也会相应提高。
?x?0.63704q???y??0.36296q?
?xy?05.3 应力变分法在柱体扭转问题中的应用
对于实心等截面直杆，在两端受到等值反向的扭矩作用时，每一横截面上将产生相同的剪应力?zx,?zy，而其他的应力分量?x??y??z??xy?0，故应变余能的表达式可写为 U'?1??E?????V2zx2??zydxdydz (8.5-10)
?由式(7.1-9)知，式中?zx,?zy可用应力函数表示为 ?zx???，?y?zy???? (h) ?x 218
第八章 能量原理及其应用
由于各个横截面具有相同的剪应力分量，令柱体长度为l，则上式的积分只须在横截面内进行，因此应变余能可改写成
22????(1??)l??????'? U???????dxdy (i) ????AE?x?y????????于是，应变余能的变分为
22???(1??)l???????'? ?U??????????dxdy (j) ??AE?x???y??????对于虚面力在位移上所做的功，由于柱体的侧面没有面力作用，不存在面力的变分，因此只须计算端部虚面力所作的功。端部上的面力不管它们分布如何，
只要其合成后等于扭矩MT，就满足了圣维南原理的条件。因此，可以认为它们不是给定的，可以允许变分。令柱体单位长度的相对扭转角为?，则两端面的相对扭转角万l?。因此，虚面力在实际位移上所做的功为l??MT。利用式(7.1-13)，并注意到G?E于是有
2(1??)A ??u?X?v?Y?w?Zdxdy?2l?????dxdy (k)
A??将式(j)和式(k)代入应力变分方程(8.4-5a)，则可得
22???1??????????? ???????????2G????dxdy?0 (8.5-11) ??y?A2?x????????????式(8.5-11)即为应用于柱体扭转时的应力变分方程。 在求解柱体扭转时，设应力函数为
?(x,y)??Ak?k(x,y) (8.5-12)
k?1n式中Ak为互相独立的n个待定常数。为使应力函数??x,y?在横截面的周边上均等于零，就必须使设定的函数?k(x,y)在截面的周边上为零。现令式(8.5-11)中的积分为
22??????1????????' ?p??????????2G?????dxdy (8.5-13) ??A2?x?y????????????将式(8.5-12)代入上式，并经变分后，可得
????'pk?1n??'p?AK219
?Ak?0
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注意到?Ak的任意性，于是可得
??'p?Ak?0，(k?1,2,?,n)
将式(8.5-13)代入上式，并求导后，可得
?????????????????? ???????2G????dxdy?0 (8.5-14) ??A?x?A?y?Ak??y??Ak?k??x??于是由上式即可求得Ak。
例8.6 横截面尺寸为2a?2b的矩形截面 棱体如图8.6所示，受自由扭转，试用应力变 分法计算单位扭转角和最大剪应力。
解：矩形截面的边界x??a,y??b处，扭 转应力函数?为零，并考虑到应力函数应对称 于ox轴和oy轴，因此可选取应力函数为
?(x,y)?(x2?a2)(y2?b2)(A1?A2x2?A3y2??) 图8.6 矩形截面棱柱体
(1) 作为第一次近似，取应力函数为
?(x,y)?A1(x2?a2)(y2?b2) (2) 将式(1)代入式(8.5-14)，得
???4Axab?a?b12(y2?b2)2?4A1y2(x2?a2)2?2G?(x2?a2)(y2?b2)dxdy?0
?将上式积分后，解得
A1?5G? 224(a?b)将它代入式(2)，则一次近似的应力函数为
?(x,y)?5G?2222(x?a)(y?b) 224(a?b)3于是，根据式(7.1-13)和上式，则有
?b???ab40?a?4 MT?2???dxdy?aG? (3) 2?a?b9?b?1????a?由式(3)求得单位长度扭转角为
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第八章 能量原理及其应用
??b?2?9MT?1?????a????? ?? (4) 240abG根据式(h)可求得剪应力分量，而最大剪应力发生在长边(b?a)中点处，其值为 ?max??zy?9MT (5)
16a2bx??a,y?0当受扭棱柱体为正方形(a?b)时，有 A1?5G?,8a2MT?20G?a4?2.222G?a4，9?max?9MTMT?0.563 (6) 16a3a3MT，与式(6)比较，3a正方形截面棱柱体的精确值为：MT?2.25G?a4,?max?0.601误差分列为-1.2%，和-6.3%。
如在式(1)所示应力函数取待定系A1,A2,A3，对正砂截面柱体扭转作二次近似计算，则经类似运算，可得
1295G????2216a2?
525G??A2?A3?4432a4??A1?求得扭矩和最大剪应力分别为
MT?2.246G?a4,?max?0.626MT 3a与精确值相比较，误差分别为-0.18%和4.2%。由此可见，其精度有所提高，但计算量也增大很多。
8.7 最大耗散能原理
塑性变形的重要特征是它的不可恢复性。当物体的应变状态发生变化时，其应变能也要改变。其中，弹性应变能增量储存在物体内部，而塑性应变能增量将全部耗散掉。将与应力在塑性应变增量上所做的功相对应的那部分应变能称之为耗散能。对于刚塑性材料而言，当有塑性政变增量时，单位体积的耗散能增量为 ?W?s1d?1?s2d?2?s3d?3?sid?i (8.6-1) 其中si(i?1,2,3)为主应力偏量，对应的应力状态?ij满足屈服条件，d?i为主应变增
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第八章 能量原理及其应用
量，且有d?i?d?ip。上式表示耗散能增量为应力偏量矢量OP与塑性应变增量矢量PQ标量积(图8.7)。故?W为一标量。
*现在考虑满足屈服条件的另一种应力状态?ij。对应于屈服曲线上的点P*。此
时．耗散能增量为
?W*?si*d?i (8.7-2) 或写为
*?W*?sijd?ij
于是两种应力状态耗散能之差为
?W??W*?(si?si*)d?i 在体积V内应有
*)d?ijdV ?W??W*??(?ij??ijV (8.7-3) 图8.7 塑性变形体的耗散能 根据德鲁克公设：对于处于某一应力状态的物体，缓慢加载后又卸载，在此加载与卸载循环中，如有塑性变形
**产生，则物体内附加应力所完成的塑性功恒为正。即(?ij??ij)d?ij?0。实际上，
对于对坐标原点为外凸的屈服面(图8.7)，有
*)d?ijdV?0 (8.7-4) ?W??W*??(?ij??ijV这就是最大耗散能原理。可叙述为，理想刚塑性材料的变形总是使耗散能取为最大的方式。
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