过去，很多老师引入椭圆定义时，常常是用一条细绳圈和两根钉子来画出椭圆。这种方法也就是木工放大样时行之有效的方法，相当经典而实用。比起在屏幕上的电脑作图，更为直观生动，会给学生留下更深刻的印象。类似地，立体几何中讲二面角，用书本或门窗有时比动画更具体。还有，用茶杯里的水面，手电筒照在墙上的光影来演示圆锥曲线，都是传统教学中常常使用的。有了信息技术，这些方法仍然应当保留和提倡。 一些经验丰富的老教师用黑板粉笔讲课，边讲边写，版书字体工整清楚，公式演算结果出现得恰当其时，一个式子何时写何时擦都有讲究。学生听这样的课，简直是一种艺术欣赏和享受。这样的教学效果往往比文稿演示时一屏一屏的切换要好。如何创造能发扬这种传统教学优点的教育信息技术，是大家努力的方向。
如果利用超级画板或几何画板等动态几何软件引入椭圆定义（图1-22），原理上虽与传统作法本质上一致，但最终作出的是可以精确调控的动态图象。用动态观点去看待几何图形，才能真正揭示事物的性质、规律、事物之间的内在联系。如果将点C在线段AB的延长线上拖动，则会生成双曲线（图1-23），就把椭圆和双曲线本质上相通之点生动地揭示出来了。
拖动点E，使得DE长度大于AB长度（图1-24），此时两圆不相交，FG两点不存在，“粉笔”都不在了，又怎么还能画出椭圆呢?这就轻松地表明了在构造椭圆的时候，为什么要求“动点到两定点的距离之和要大于两定点的距离”，对此学生的记忆肯定也是相当深刻的。
图1-22 图1-23
图1-24
1.5信息技术对教学提出了新要求
使用信息技术，并不能保证教学效果就一定好。技术再先进也要人来用，决定成败的关键因素还是在于教师的数学素质和教学设计。近几年，一线老师们提供了很多案例，积累了丰富的经验。譬如，测量功能是动态几何软件的最基本、也是最重要的功能之一，看似简单，但有时候引发出的一些问题却很值得大家思索品味。 1.5.1中位线定理的教学案例
一位老师在讲授中位线定理这一内容时，利用超级画板作了两次测量：一次是验证三角形中位线定理，另一次是验证顺次连接四边形的中点所围成图形为平行四边形。这位老师发现，当他让学生动手测量的时候，有一部分学生懒散地坐着不动，远没有刚开始
接触超级画板那样积极。课后向几位学生调查情况，学生们说，这两道题，书上都有结论，我们早就看过了，再去测量不是有点傻么？对未知的东西充满好奇，对已知的东西熟视无睹，这是绝大多数人存有的心态。这位老师经过反思，觉得不能怪学生；不过他想到，如果学生仅仅满足于记住某个结论，而没有进一步思考，这对于学习数学是很不利的。
于是在另外一个班上课时，他首先让学生探究这么一个问题。五边形ABCDE中，点F、G、H、I分别是AB、BC、CD、DE的中点，点J、K分别是FH、GI的中点，AE和JK有什么关系？学生们马上打开超级画板进行测量，很快发现AE?4JK（图1-25）。老师问：还发现什么？学生没有其他的发现。能不能证明发现的结论呢？学生们没有一点头绪。老师提示说，当遇到难题解决不了的时候，我们是不是退一步，先解决容易的题目；大家还记得如何求多边形的内角和么？学生说，记得，将多边形分割成三角形来解决。于是，这位老师就顺势引导学生去研究三角形中位线定理和顺次连接四边形的中点所围成图形为平行四边形这两个问题。等到快下课时，老师又将学生引回到五边形中点的问题。但学生还是反应不过来，因为他们都想着如何将五边形分割成三角形，这是思维定式造成的。老师给出提示，也不一定要分割成三角形啊，我们今天不是还学了四边形么？这一提示，不少学生就作出这道题了，辅助线如图1-26所示（L是AD的中点）；而且还有学生高兴地发现AE和JK还存在平行关系。
图1-25 图1-26
同一个老师讲同一个内容，都使用了超级画板的测量功能，其中的变化仅仅是加了一个例题而已，但后一次课的效果明显要好很多。前一节课的测量，好像有点“为测量而测量”的味道；而后一节课的测量，是真正的探究式测量，因为学生即使提前预习，也较难作出该题，此时的测量落到了实处。需要指出的是，所增加的例题非常有内涵，包括了该节课的两个重要的结论。例题的增加，这就不是靠信息技术了，而是靠老师的专业水平；也许不少老师也做过此题，但可能并没有留意。
1.5.2勾股定理的教学案例
勾股定理的数学表示形式是a?b?c，从数的“方”（平方）联想形的“方”（正方），不难想到要从Rt?ABC的各边向外作正方形ABDE，CBFG和ACHI（图1-27），于是有不少老师让学生利用超级画板测量面积，验证SABDE?SCBFG?SACHI。但有一个老师在这个环节遇到了问题。学生作好图27后，老师让学生测量面积，自主探究。大多数学生都得出了老师想要的那个答案。但有一个学生说，他发现的有所不同，他发现
S?ABC?S?BDF?S?CGH?S?AIE（注：超级画板测量面积与几何画板不同，只需依次选择
222多边形顶点即可，并不一定要作出多边形）。
这位老师感到很吃惊，这是备课时没有想到的。仔细一看，这不正是三角形面积公式
S?ABC?12absinC?12bcsinA?12只不过用了一次互补的两个角正casinB的应用么，
弦相等而已。但学生还没学过正弦，该怎么解释呢？
图1-27 图1-28
一想，其实也不难，S?ABC?S?HCG是显然的。而证S?ABC与S?BDF相等也只需以AB和BD为底边，作出对应的高线CJ和FL即可，而这两条边的相等又可转化为求证
?CJB??FLB（图28）。由于?JBC??LBF（与同角互余的两角相等），根据HL定理，易证?CJB??FLB。同样地，可以证明S?ABC?S?AIE。如果作出更多的垂线段，就会得到一个类似于赵爽弦图的图形（图1-29），于是就引出另一种证明。
如图1-30，就是分别过点A和D作BC的平行线，分别过点B和E作AC的平行线，四条直线交于M、J、K和L。易证?ABC与正方形AEDB中的四个三角形都全等，从而
BJ?BC?BF，从而S?ABC?S?DBJ?S?BDF。同理可证S?ABC?S?AEL?S?BDF。
特别有意思的是，即使?ABC不是直角三角形，所得4个三角形面积相等的结论也是成立的。证明的过程也一样，因为两种证明都没有用到?ACB?90?这一条件。学生们听完老师的分析，觉得不可思议，马上又重新作图进行验证。
图1-29 图1-30
同一个图形，从一个角度看是勾股定理，而从另一个角度观察却是正弦定理。勾股定理是依赖于直角的，正弦定理则显得更一般；勾股定理是显然的，正弦定理却是隐藏的；而这之间的沟通，对于刚刚接触勾股定理，还没听说过正弦定理的初中生来说，信息技术在其中起到了多么重要的作用！
老师们精心备课，设计好一个又一个的环节，但难免也会遇到设计之外的情况。特别是现代社会的信息来源多元化，中学生不再像过去那样，单纯地从老师那里吸取知识，而是通过各种渠道来获取信息，譬如说网络，图书馆等，超级画板一类的软件也能够提
供给学生信息。从某种角度来说，信息技术并没有给老师带来轻松，而是带来压力，对老师的要求更高了。但老师的付出是有回报的，本节课从勾股定理引出赵爽弦图是如此地自然，没有人为的做作，甚至三角形面积公式、正弦定理也呼之欲出。
1.6信息技术与课程整合的四个层次
任何事都不是一蹴而就的，都需要有一个过程。我们认为信息技术与课程整合应该分为四个层次，或者说是四步走。
第一个层次：举重若轻，做能够省时省力的事。 计算机和软件无非是工具，如同圆规直尺三角板。重要的是自己的教学经验和特长要保持要发挥。原来怎样上课备课现在仍然可以保持自己的习惯和套路。但是，用计算机画一些比较复杂的图形总比用粉笔黑板方便吧？用计算机作计算或书写推导公式总要快捷准确些吧？这些工作，本来也能做，用了信息技术能够做得更快更方便，好像用圆珠笔代替毛笔一样。学习新的工具要花时间精力，但学会了能减轻劳动，是值得的。 第二个层次：心想事成，做过去想到做不到的事。 过去，在教学过程中常有一些想象或虚拟的比方，但实际上做不到。例如在黑板上画一个圆内接正多边形，说如果正多边形的边数越来越多，它的面积和周长就越来越接近圆的面积和周长。用了超级画板，画一个边数会逐步增加的正多边形是轻而易举的事。又如让几何图形和函数图像随参数变化，让运动的图形留下踪迹，让统计图表跟着数据变化，许多过去想到做不到的事，现在都可以在教学现场即兴发挥，随意操作。另外，“电子黑板”上写的画的东西会自动被储存，根据教学需要随意隐藏显示或改变颜色大小位置，这都是过去想到做不到的，现在是家常便饭了。
第三个层次：推陈出新，做过去没有想到的事。 随着对信息技术的掌握，受同行所作的课件的启发，更多地吸取或总结了别人或自己的经验，就会产生创新的愿望和灵感。原来想不到的知识表现方式，现在可以设计出来了。使用超级画板，可以制作引人入胜的动画，设计游戏式的课件和学件，使用自动解题、交互解题、几何图形的信息搜索、编程、迭代等智能性更高的功能建设教学资源，推出创新的成果。
第四个层次：众志成城，教师带领学生都来用信息技术做数学。
教学资源丰富了，对信息技术运用自如了，备课方法、讲授方法、学习方法、教学组织会自然地发生变化。例如，学生看到老师在课堂上运用自如地作图计算推导，看到老师创作的引人入胜的动画，就会产生自己动手试一试的强烈的愿望。如果有条件，最好组织学生自己动手在教师指导下探索、试验，尝试开展研究性的学习。由于信息技术的介入，会使学生全身心地投入到教学活动之中，对课程内容产生浓厚的兴趣。教学模式会自然地转变，学生的数学素养和成绩会显著提高。
第一章概论 .........................................................................................................................6
1.1数学教学中常用信息技术的三个类别 ......................................................................6 1.2数学教师需要什么样的信息技术 .............................................................................7 1.3数学教育信息技术对教与学的影响 ........................................................................ 11 1.4使用信息技术要继承优秀的教学传统 .................................................................... 15 1.5信息技术对教学提出了新要求 ............................................................................... 16 1.6信息技术与课程整合的四个层次 ........................................................................... 19
第一章概论
1.1数学教学中常用信息技术的三个类别
在计算机飞速发展和普及的今天，信息技术的应用已经渗透到各个领域，这其中当然包括数学教育。
在数学教育活动中，常常用到的信息技术可分为三个类别：
（1）各行各业都能用的普适信息技术，如E-Mail，PPT, 浏览器和搜索引擎;
（2）各学科都能用的普适教育技术，如通用课件平台，教学反馈系统，电子白板； （3）为数学教学量身定做的数学教育技术，如动态几何软件，图形计算器。 普适的信息技术和普适的教育技术，给教师和学生带来很多的便利，但远不能满足学科教学与学习的需求。例如，数理学科要用到的符号计算，就是其他很多行业不需要的技术，不属于普适的信息技术。为了教学和科学技术研究而发展符号计算技术，数学家和计算机科学家耗费了大量心血。例如，仅仅为了实现整系数多项式的因式分解，发表的学术论文就超过千篇。
有些普适的信息技术表面上看来适用于教学和学习活动，人们甚至花大力气在教育领域推广这些技术。但很遗憾，这些技术未能通过教学实践的检验。例如，通用的文稿演示软件、通用的动画生成软件和通用的课件制作系统都是数学教师希望在教学中应用的技术工具，它们一度燃起教师们应用信息技术于教学的热情。然而几年之后，大家就发现学习和使用这类技术产生的教学效果，并不能补偿所投入的人力和物力。一位数学教师在网上对这类技术在教学上的应用效果的评价是“老师做累了，学生看傻了”。这句话一针见血地指出了在教学活动中滥用普适信息技术的负面影响。有作者指出，运用多媒体演示进行教学活动，其效果常常不及传统的黑板粉笔。美国2005－2007年的一次调查甚至得出教学软件无助于提高学生成绩的结论。其实，信息技术和黑板粉笔并不是完全对立两套教育技术。为教育而研发的，适用于课堂教学的信息技术工具，应当而且可以兼具黑板粉笔教学模式的长处，应当能够继承发扬传统的教学方式的长处。
近30年来，许多国家寄希望于教育信息化能显著地提高教学质量和学习成绩，投入大量的人力物力进行校园信息化的建设，但实际的效果远远低于预期。这种情形的出现，原因之一可能是试图将普适的信息技术直接用于教学的倾向广泛存在。这种倾向符合商业利益，因而得到有力的支持或鼓励。但教师和学生从中得到的好处不多。一度流行的各种“课件制作平台”和基于课本搬家而开发的“教学资源库”，对教师和学生已经没有吸引力了。那么，数学教学和学习中需要什么样的信息技术呢？
1.2数学教师需要什么样的信息技术
数学教师需要用的信息技术，大体上分为三类。
(1)选择性地使用普适的信息技术:收发电子邮件，上网查资料，汉字输入写东西，以及在网络论坛社区上交流等。
(2)数学教学中常用的信息技术：动态几何（包括动画，变换，跟踪，轨迹），动态曲线作图，动态测量，符号计算，编程环境，随机现象模拟，统计图表制作，快速公式编辑，课件制作演示等。
(3)某些专题教学活动需要的信息技术：如分形制作，函数拟合等。
以下对这3类信息技术分别论述。 1.2.1选择性地使用普适的信息技术
普适的信息技术种类繁多，目前数学教师使用较多的有这么几种。用Word写文章、