同一个老师讲同一个内容，都使用了超级画板的测量功能，其中的变化仅仅是加了一个例题而已，但后一次课的效果明显要好很多。前一节课的测量，好像有点“为测量而测量”的味道；而后一节课的测量，是真正的探究式测量，因为学生即使提前预习，也较难作出该题，此时的测量落到了实处。需要指出的是，所增加的例题非常有内涵，包括了该节课的两个重要的结论。例题的增加，这就不是靠信息技术了，而是靠老师的专业水平；也许不少老师也做过此题，但可能并没有留意。
1.5.2勾股定理的教学案例
勾股定理的数学表示形式是a2?b2?c2，从数的“方”（平方）联想形的“方”（正方），不难想到要从Rt?ABC的各边向外作正方形ABDE，CBFG和ACHI（图1-27），于是有不少老师让学生利用超级画板测量面积，验证SABDE?SCBFG?SACHI。但有一个老师在这个环节遇到了问题。学生作好图27后，老师让学生测量面积，自主探究。大多数学生都得出了老师想要的那个答案。但有一个学生说，他发现的有所不同，他发现
S?ABC?S?BDF?S?CGH?S?AIE（注：超级画板测量面积与几何画板不同，只需依次选择
多边形顶点即可，并不一定要作出多边形）。
这位老师感到很吃惊，这是备课时没有想到的。仔细一看，这不正是三角形面积公式
S?ABC?12absinC?12bcsinA?12casinB的应用么，只不过用了一次互补的两个角正
弦相等而已。但学生还没学过正弦，该怎么解释呢？
图1-27 图1-28
一想，其实也不难，S?ABC?S?HCG是显然的。而证S?ABC与S?BDF相等也只需以AB和BD为底边，作出对应的高线CJ和FL即可，而这两条边的相等又可转化为求证
?CJB??FLB（图28）。由于?JBC??LBF（与同角互余的两角相等），根据HL定
理，易证?CJB??FLB。同样地，可以证明S?ABC?S?AIE。如果作出更多的垂线段，就会得到一个类似于赵爽弦图的图形（图1-29），于是就引出另一种证明。
如图1-30，就是分别过点A和D作BC的平行线，分别过点B和E作AC的平行线，四条直线交于M、J、K和L。易证?ABC与正方形AEDB中的四个三角形都全等，从而
BJ?BC?BF，从而S?ABC?S?DBJ?S?BDF。同理可证S?ABC?S?AEL?S?BDF。
特别有意思的是，即使?ABC不是直角三角形，所得4个三角形面积相等的结论也是成立的。证明的过程也一样，因为两种证明都没有用到?ACB?90这一条件。学生
?们听完老师的分析，觉得不可思议，马上又重新作图进行验证。
图1-29 图1-30
同一个图形，从一个角度看是勾股定理，而从另一个角度观察却是正弦定理。勾股定理是依赖于直角的，正弦定理则显得更一般；勾股定理是显然的，正弦定理却是隐藏的；而这之间的沟通，对于刚刚接触勾股定理，还没听说过正弦定理的初中生来说，信息技术在其中起到了多么重要的作用！
老师们精心备课，设计好一个又一个的环节，但难免也会遇到设计之外的情况。特别是现代社会的信息来源多元化，中学生不再像过去那样，单纯地从老师那里吸取知识，而是通过各种渠道来获取信息，譬如说网络，图书馆等，超级画板一类的软件也能够提供给学生信息。从某种角度来说，信息技术并没有给老师带来轻松，而是带来压力，对老师的要求更高了。但老师的付出是有回报的，本节课从勾股定理引出赵爽弦图是如此地自然，没有人为的做作，甚至三角形面积公式、正弦定理也呼之欲出。
1.6信息技术与课程整合的四个层次
任何事都不是一蹴而就的，都需要有一个过程。我们认为信息技术与课程整合应该分为四个层次，或者说是四步走。
第一个层次：举重若轻，做能够省时省力的事。 计算机和软件无非是工具，如同圆规直尺三角板。重要的是自己的教学经验和特长要保持要发挥。原来怎样上课备课现在仍然可以保持自己的习惯和套路。但是，用计算机画一些比较复杂的图形总比用粉笔黑板方便吧？用计算机作计算或书写推导公式总要快捷准确些吧？这些工作，本来也能做，用了信息技术能够做得更快更方便，好像用圆珠笔代替毛笔一样。学习新的工具要花时间精力，但学会了能减轻劳动，是值得的。
第二个层次：心想事成，做过去想到做不到的事。
过去，在教学过程中常有一些想象或虚拟的比方，但实际上做不到。例如在黑板上画一个圆内接正多边形，说如果正多边形的边数越来越多，它的面积和周长就越来越接近圆的面积和周长。用了超级画板，画一个边数会逐步增加的正多边形是轻而易举的事。又如让几何图形和函数图像随参数变化，让运动的图形留下踪迹，让统计图表跟着数据变化，许多过去想到做不到的事，现在都可以在教学现场即兴发挥，随意操作。另外，“电子黑板”上写的画的东西会自动被储存，根据教学需要随意隐藏显示或改变颜色大小位置，这都是过去想到做不到的，现在是家常便饭了。
第三个层次：推陈出新，做过去没有想到的事。
随着对信息技术的掌握，受同行所作的课件的启发，更多地吸取或总结了别人或自己的经验，就会产生创新的愿望和灵感。原来想不到的知识表现方式，现在可以设计出来了。使用超级画板，可以制作引人入胜的动画，设计游戏式的课件和学件，使用自动解题、交互解题、几何图形的信息搜索、编程、迭代等智能性更高的功能建设教学资源，推出创新的成果。
第四个层次：众志成城，教师带领学生都来用信息技术做数学。
教学资源丰富了，对信息技术运用自如了，备课方法、讲授方法、学习方法、教学组织会自然地发生变化。例如，学生看到老师在课堂上运用自如地作图计算推导，看到老师创作的引人入胜的动画，就会产生自己动手试一试的强烈的愿望。如果有条件，最好组织学生自己动手在教师指导下探索、试验，尝试开展研究性的学习。由于信息技术的介入，会使学生全身心地投入到教学活动之中，对课程内容产生浓厚的兴趣。教学模式会自然地转变，学生的数学素养和成绩会显著提高。