方。难点不突破，积少成多，就会成为学生的包袱。其实，不少的难点用信息技术做个动画就能解决了。
传统教学讲中位线，都是先作AB、AC的中点E、F，然后连接EF，然后告诉学生，这就是中位线。而使用信息技术，则可以让学生理解更深入一点。先在底边BC上任取一点D，跟踪AD中点E，作点D的动画，则可得到△ABC的一条中位线(图1-12)。这样让学生充分了解中位线的本质：底边上任意一点的与顶点A的连线的中点都在中位线上，换句话说，中位线是由无数个中点E的集合构成的，传统教学所取的只是底边线段BC的两个端点罢了。再扩展一下，一一对应的数学思想便呼之欲出。
图1-12
在一些教材上，为了说明圆面积公式的来历，通常有类似图1-13的插图。但一旦作成了图片，就是静止的了，而圆和矩形之间的转化是一个动态的过程，这就需要利用信息技术。而且还可以改变分割的份数，让学生清楚地看到等分份数越多，圆弧就越接近于直线，最后所得图形就越接近于矩形。图1-14展现的是用正弦波的叠加逼近矩形波的过程，这也是传统教学中学生难以理解的地方。
图1-13 图1-14 1.3.3使用信息技术提高教学效率
不少人认为使用信息技术，教师讲课可以节省很多板书的时间，从而信息容量增大，学生能够学到更多的东西。但实践表明，容量过大，学生反而接受不了，而传统教学中教师板书恰恰给学生消化吸收提供了时间。那么信息技术提高教学效率表现在哪些地方呢？以蒲丰投针为例，一些老师让学生分组做试验，把大量时间花在了单调、重复的投针活动及相关数据的记录和计算中，看似热闹，实际意义不大。完全可以利用信息技术进行模拟实验（图1-15），让学生了解大概怎么回事就可以了。关键在于把为什么可以用概率的方法计算出π的近似值的原理讲清楚，让学生从中深切体会数学方法的神奇！
又例如，最近十来年流行开放性题型。一个三角形和它的三条高线以及垂心，这个极为简单的几何图形（图1-16）中有多少组成比例的线段？这样的问题如果让人去找，花费大量时间不说，而且未必能够找全。采用信息技术，只要几秒钟，就能全部找出来。不单找出105组成比例的线段，而且找到了有42对相似三角形，相等的角有111组等信息。不仅如此，对每条信息的依据都能够详细地说明道理。
图15 图16
1.3.4使用信息技术帮助解题 数形结合在数学教学中非常重要。手工作图通常是不太准确的，有时可能得出错误的结论。如果说求解lg(x)和sin(x)在?0,10?有几个交点还比较容易的话，那么探索ax与
logax的交点个数，手工作图几乎是不可能了。根据参数a的不同，交点个数会有4种
情况，而通常大家都很难想到当0?a?1ee时，有3个交点。而用信息技术作出函数图
象，则很容易发现这个事实（图1-17）。
图1-17
信息技术的另一个基本功能是作计算。下面以因式分解为例说明。在讲解因式分解的时候，很多老师都会教给学生这样一个公式：
x?1?(x?1)(xnn?1?xn?2???x?1)。对此公式，正确性毋庸置疑。但形如
xn?1?xn?2???x?1的表达式如何进一步分解因式，知道的人恐怕不多。数学史上分
2n解因式的故事也很多，譬如费马提出素数猜想“对任一自然数n，2，很?1都是素数”
多数学家企图证明都失败了，后来被数学家欧拉证伪：当n?5，
22n?1?641*6700417。如果当时费马有今天的计算机和适当的软件，例如超级画板，
他在几秒钟之内就会知道这个命题错了。
由于数学家和计算机专家的努力，现在的信息技术不只能够作图和计算，还能够推理。九点圆问题是一道经典的平面几何问题，证明较繁琐；而使用信息技术，作好图之后，
只要几秒钟就能给出可读的证明，图18是该证明的结构图。超级画板就具有这种智能型的功能。
图18
1.3.5使用信息技术联系生活和大自然
不少的中学生认为，数学就是搞理论，成天做题；甚至还认为，数学学到初中就可以了，反正学多了也没可用之地。其实不然，数学在我们生活中可谓是无处不在。以圆为例，为什么车轮要做成圆形？这个问题可以不用信息技术，从常识就能回答。但是如果继续追问，假如车轮不是圆的又如何？假如是正方形车轮，而又想让车子上的人觉得平稳，应该修一条什么样的路？此时最好借助信息技术来帮忙（图1-19）。
图1-19
还有就是数学与自然的联系。有人说：“上帝是数学家，唯一能够描述宇宙的语言是数学！”对于这句话，不管是学生，还是老师可能都不大理解。怎么用数学语言去描述宇宙？恐怕很难回答。在很多人看来，数学和自然的联系实在是不多。著名数学家分形几何的创始人芒德勃罗说：“为什么几何学常常被说成是‘冷酷无情’和‘枯燥乏味’的？原因之一在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木的形状。云彩不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不光滑，闪电更不是沿着直线传播的??数学家不能回避这些大自然提出的问题 。”在教学过程中同样也不能回避这一点。
其实不需要太高深的数学，将中学所学的一些函数加以组合，譬如指数函数、正弦函数、余弦函数等，就能描绘出自然界的很多物体。试试用超级画板绘制下面这个函数：
2?-?5sin???e-2cos(4?)+ sin()，您会惊奇地看到一只蝴蝶（图1-20）！图1-21所示
24蘑菇则是跟踪点的运动生成，非常地形象。利用信息技术绘制这样的图形，并不是简单地为了找出些好看的图形，更重要的是通过这些图形的制作，启迪学生感受到数学与生
活、大自然都是紧密联系的，而信息技术则是我们探索真理、追寻事实的有用工具。
图1-20 图1-21
1.4使用信息技术要继承优秀的教学传统
数学教育的改革，从有数学教育活动以来，就没有停止过。种种新的思想观念和方法不断出现，旧的教学方式教学内容终究会被新的更优秀的所取代。但是，传统的未必都是不好的，新的也未必就是好的。传统的东西毕竟经历过时间考验，可取之处颇多；新的理论和方法虽然很吸引人，但仍有待在教学实践中检验。所以在使用信息技术进行教学的时候，并不是要颠覆传统教学，而是要注意保留传统教学的优秀传统。
过去，很多老师引入椭圆定义时，常常是用一条细绳圈和两根钉子来画出椭圆。这种方法也就是木工放大样时行之有效的方法，相当经典而实用。比起在屏幕上的电脑作图，更为直观生动，会给学生留下更深刻的印象。类似地，立体几何中讲二面角，用书本或门窗有时比动画更具体。还有，用茶杯里的水面，手电筒照在墙上的光影来演示圆锥曲线，都是传统教学中常常使用的。有了信息技术，这些方法仍然应当保留和提倡。
一些经验丰富的老教师用黑板粉笔讲课，边讲边写，版书字体工整清楚，公式演算结果出现得恰当其时，一个式子何时写何时擦都有讲究。学生听这样的课，简直是一种艺术欣赏和享受。这样的教学效果往往比文稿演示时一屏一屏的切换要好。如何创造能发扬这种传统教学优点的教育信息技术，是大家努力的方向。
如果利用超级画板或几何画板等动态几何软件引入椭圆定义（图1-22），原理上虽与传统作法本质上一致，但最终作出的是可以精确调控的动态图象。用动态观点去看待几何图形，才能真正揭示事物的性质、规律、事物之间的内在联系。如果将点C在线段AB的延长线上拖动，则会生成双曲线（图1-23），就把椭圆和双曲线本质上相通之点生动地揭示出来了。
拖动点E，使得DE长度大于AB长度（图1-24），此时两圆不相交，FG两点不存在，“粉笔”都不在了，又怎么还能画出椭圆呢?这就轻松地表明了在构造椭圆的时候，为什么要求“动点到两定点的距离之和要大于两定点的距离”，对此学生的记忆肯定也是相当深刻的。
图1-22 图1-23
图1-24
1.5信息技术对教学提出了新要求
使用信息技术，并不能保证教学效果就一定好。技术再先进也要人来用，决定成败的关键因素还是在于教师的数学素质和教学设计。近几年，一线老师们提供了很多案例，积累了丰富的经验。譬如，测量功能是动态几何软件的最基本、也是最重要的功能之一，看似简单，但有时候引发出的一些问题却很值得大家思索品味。
1.5.1中位线定理的教学案例
一位老师在讲授中位线定理这一内容时，利用超级画板作了两次测量：一次是验证三角形中位线定理，另一次是验证顺次连接四边形的中点所围成图形为平行四边形。这位老师发现，当他让学生动手测量的时候，有一部分学生懒散地坐着不动，远没有刚开始接触超级画板那样积极。课后向几位学生调查情况，学生们说，这两道题，书上都有结论，我们早就看过了，再去测量不是有点傻么？对未知的东西充满好奇，对已知的东西熟视无睹，这是绝大多数人存有的心态。这位老师经过反思，觉得不能怪学生；不过他想到，如果学生仅仅满足于记住某个结论，而没有进一步思考，这对于学习数学是很不利的。
于是在另外一个班上课时，他首先让学生探究这么一个问题。五边形ABCDE中，点F、G、H、I分别是AB、BC、CD、DE的中点，点J、K分别是FH、GI的中点，AE和JK有什么关系？学生们马上打开超级画板进行测量，很快发现AE?4JK（图1-25）。老师问：还发现什么？学生没有其他的发现。能不能证明发现的结论呢？学生们没有一点头绪。老师提示说，当遇到难题解决不了的时候，我们是不是退一步，先解决容易的题目；大家还记得如何求多边形的内角和么？学生说，记得，将多边形分割成三角形来解决。于是，这位老师就顺势引导学生去研究三角形中位线定理和顺次连接四边形的中点所围成图形为平行四边形这两个问题。等到快下课时，老师又将学生引回到五边形中点的问题。但学生还是反应不过来，因为他们都想着如何将五边形分割成三角形，这是思维定式造成的。老师给出提示，也不一定要分割成三角形啊，我们今天不是还学了四边形么？这一提示，不少学生就作出这道题了，辅助线如图1-26所示（L是AD的中点）；而且还有学生高兴地发现AE和JK还存在平行关系。
图1-25 图1-26